Sabendo que |u|=2,|v|=3 e lang<=u, vrang<==1, calcule:
lang<= 3 u+4 v,-2 u-5 vrang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u e v, com magnitudes de 2 e 3, respectivamente. Além disso, o produto interno entre eles é 1. Nosso objetivo é calcular o produto interno de (3u + 4v) com (-2u - 5v). Para isso, vamos utilizar as propriedades dos produtos internos e as informações que temos sobre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é distributivo. Ou seja, se a gente tem dois vetores somados e multiplicados por escalares, a gente pode expandir o produto interno assim:
lang<= 3u + 4v, -2u - 5v rang<= = 3 times (-2) lang<= u, u rang<= + 3 times (-5) lang<= u, v rang<= + 4 times (-2) lang<= v, u rang<= + 4 times (-5) lang<= v, v rang<=

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente conhece:
  • = 3 times (-2) times 4 + 3 times (-5) times 1 + 4 times (-2) times 1 + 4 times (-5) times 9
  • (e como o produto interno é comutativo, )
Substituindo esses valores na expressão:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados:
-24 + (-15) + (-8) + (-180) = -227

Resposta

O valor do produto interno é -227.

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