Sejam u=(2,-1,0) e v=(1,-3,2).
(b) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores 2 u e-v.

Passo 1

Então, temos dois vetores: u = (2, -1, 0) e v = (1, -3, 2). Queremos calcular a área do triângulo formado pelos vetores 2u e -v. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores 2u e -v. Multiplicando cada componente de u por 2, temos:
2u = 2 times (2, -1, 0) = (4, -2, 0)
E multiplicando cada componente de v por -1:
-v = -1 times (1, -3, 2) = (-1, 3, -2)

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo formado por esses dois vetores, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial:
Área = 12 | a times b | Á
Onde a e b são os vetores que formam o triângulo, e | a times b | é o módulo do produto vetorial deles.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial 2u times -v:
a = (4, -2, 0) b = (-1, 3, -2) a times b = i & j & k 4 & -2 & 0 -1 & 3 & -2
Calculando o determinante:
a times b = i((-2)(-2) - (0)(3)) - j((4)(-2) - (0)(-1)) + k((4)(3) - (-2)(-1)) = i(4 - 0) - j(-8 - 0) + k(12 - 2) = 4i + 8j + 10k
Então, a times b = (4, 8, 10).

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| a times b | = raiz4^2 + 8^2 + 10^2 = raiz16 + 64 + 100 = raiz180 = raiz36 times 5 = 6raiz5

Passo 6

Finalmente, a área do triângulo é metade desse módulo:
Área = 12 times 6raiz5 = 3raiz5 Á

Resposta

A área do triângulo determinado pelos vetores 2u e -v é 3raiz5 unidades quadradas.

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