Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular:
(2 v-u) cdot(2 v)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício de Álgebra Vetorial. A questão nos dá os tamanhos dos vetores u e v, além do produto escalar entre eles. Precisamos calcular o produto escalar de (2v - u) com 2v. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e das operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores a e b é definido por:
a cdot b = |a| , |b| cos(theta)
onde |a| e |b| são os comprimentos dos vetores e theta é o ângulo entre eles. Além disso, o produto escalar é distributivo em relação à soma de vetores, ou seja:
(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c

Passo 3

Vamos aplicar a distributividade do produto escalar na expressão que precisamos calcular:
(2v - u) cdot (2v) = 2v cdot 2v - u cdot 2v
Aqui, distribuímos o produto escalar sobre a subtração dentro dos parênteses.

Passo 4

Agora, simplificamos cada termo separadamente. Primeiro, calculamos 2v cdot 2v:
2v cdot 2v = 4 (v cdot v)
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu comprimento:
v cdot v = |v|^2

Passo 5

Substituímos o valor de |v| na expressão:
v cdot v = 3^2 = 9
Portanto:
4 (v cdot v) = 4 times 9 = 36

Passo 6

Agora, calculamos o segundo termo -u cdot 2v:
-u cdot 2v = -2 (u cdot v)
Já que nos foi dado que u cdot v = -1, substituímos:
-2 (u cdot v) = -2 times (-1) = 2

Passo 7

Finalmente, somamos os dois resultados obtidos:
36 + 2 = 38

Resposta

O valor de (2v - u) cdot (2v) é 38.

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