Sabendo que , calcular:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício de Álgebra Vetorial. A questão nos dá os tamanhos dos vetores e , além do produto escalar entre eles. Precisamos calcular o produto escalar de com . Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e das operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores e é definido por:
onde e são os comprimentos dos vetores e é o ângulo entre eles. Além disso, o produto escalar é distributivo em relação à soma de vetores, ou seja:

Passo 3

Vamos aplicar a distributividade do produto escalar na expressão que precisamos calcular:
Aqui, distribuímos o produto escalar sobre a subtração dentro dos parênteses.

Passo 4

Agora, simplificamos cada termo separadamente. Primeiro, calculamos :
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu comprimento:

Passo 5

Substituímos o valor de na expressão:
Portanto:

Passo 6

Agora, calculamos o segundo termo :
Já que nos foi dado que , substituímos:

Passo 7

Finalmente, somamos os dois resultados obtidos:

Resposta

O valor de é 38.

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