Seja , mostre duas matrizes e , tais que e .

Passo 1

Olha, a gente tem uma matriz e precisa encontrar duas matrizes diferentes e que, quando multiplicadas por , dão o mesmo resultado: . Isso envolve entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Podemos reescrever isso como:
Isso nos diz que a matriz deve estar no espaço nulo de , ou seja, deve ser uma matriz que, ao ser multiplicada por , resulta na matriz zero.

Passo 3

Para encontrar tais matrizes e , precisamos primeiro descobrir o espaço nulo de . Vamos resolver , onde é uma matriz :
Isso nos dá o sistema de equações:
Notamos que a segunda linha é 3 vezes a primeira, então só precisamos resolver a primeira equação:
Assim, qualquer matriz no espaço nulo de tem a forma:
onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Agora, queremos que . Podemos escolher uma matriz não nula no espaço nulo para garantir que . Vamos escolher, por exemplo:
Então, podemos definir como uma matriz qualquer e .

Passo 5

Vamos escolher uma matriz simples, por exemplo:
Então,

Passo 6

Vamos verificar se :
Como e , encontramos as matrizes que queríamos.

Resposta

Duas matrizes que satisfazem e são:

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Os três exercícios seguintes e 12) referem-se a uma corda esticada, constituída de uma parte mais fina (1) ligada a outra parte mais grossa (2), ligada a uma parede,
11) Sendo a velocidade de propagação da onda na corda (2). determine a distância entre duas cristas consecutivas nesta corda.
Seja uma matriz quadrada. Mostre que:
(a) é anti-simétrica. Que podemos dizer se não for uma matriz quadrada?
(b) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. Sugestão: Use as matrizes e .
© Ilustre a propriedade © para a matriz .
Sabendo que , calcular:
Ao estudar a estrutura atômica de uma liga metálica, um cientista modela a oscilação dos átomos por um movimento harmônico simples, cuja função horária para posição é , com o tempo em microssegundos e a amplitude em nanômetros. Determine:
b) frequência;