Seja A=[ll2 & 1 6 & 3], mostre duas matrizes B e C, tais que A B=A C e B neq C.

Passo 1

Olha, a gente tem uma matriz 2 & 1 6 & 3 e precisa encontrar duas matrizes diferentes e que, quando multiplicadas por , dão o mesmo resultado: . Isso envolve entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A B - A C = 0 implies A (B - C) = 0 . Podemos reescrever isso como:
Isso nos diz que a matriz deve estar no espaço nulo de , ou seja, deve ser uma matriz que, ao ser multiplicada por , resulta na matriz zero.

Passo 3

Para encontrar tais matrizes 2 & 1 6 & 3 x11 & x12 x21 & x22 = 0 & 0 0 & 0 e 2x11 + x21 = 0 2x12 + x22 = 0 , precisamos primeiro descobrir o espaço nulo de x21 = -2x11 x22 = -2x12 . Vamos resolver X = x11 & x12 -2x11 & -2x12 , onde é uma matriz :
Isso nos dá o sistema de equações:
Notamos que a segunda linha é 3 vezes a primeira, então só precisamos resolver a primeira equação:
Assim, qualquer matriz no espaço nulo de tem a forma:
onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Agora, queremos que X = 1 & 0 -2 & 0 . Podemos escolher uma matriz não nula no espaço nulo para garantir que . Vamos escolher, por exemplo:
Então, podemos definir como uma matriz qualquer e .

Passo 5

Vamos escolher uma matriz B = 0 & 0 0 & 0 simples, por exemplo:
0 & 0 0 & 0
Então, 1 & 0 -2 & 0

Passo 6

Vamos verificar se A B = 2 & 1 6 & 3 0 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 :
A C = 2 & 1 6 & 3 -1 & 0 2 & 0 = (2)(-1) + (1)(2) & 0 (6)(-1) + (3)(2) & 0 = 0 & 0 0 & 0
Como e , encontramos as matrizes que queríamos.

Resposta

Duas matrizes que satisfazem B = 0 & 0 0 & 0 e C = -1 & 0 2 & 0 e são:

Exercícios relacionados