Seja
, mostre duas matrizes
e
, tais que
e
.
Passo 1
Olha, a gente tem uma matriz
e precisa encontrar duas matrizes diferentes
e
que, quando multiplicadas por
, dão o mesmo resultado:
. Isso envolve entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Podemos reescrever isso como:
Isso nos diz que a matriz
deve estar no espaço nulo de
, ou seja,
deve ser uma matriz que, ao ser multiplicada por
, resulta na matriz zero.
Passo 3
Para encontrar tais matrizes
e
, precisamos primeiro descobrir o espaço nulo de
. Vamos resolver
, onde
é uma matriz
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Notamos que a segunda linha é 3 vezes a primeira, então só precisamos resolver a primeira equação:
Assim, qualquer matriz no espaço nulo de
tem a forma:
onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Agora, queremos que
. Podemos escolher uma matriz
não nula no espaço nulo para garantir que
. Vamos escolher, por exemplo:
Então, podemos definir
como uma matriz qualquer e
.
Passo 5
Vamos escolher uma matriz
simples, por exemplo:
Então,
Passo 6
Vamos verificar se
:
Como
e
, encontramos as matrizes que queríamos.
Resposta
Duas matrizes que satisfazem
e
são: