Sabendo que |u|=2,|v|=3 e que u e v formam um ângulo de 3 pi4 rad, determinar
|(2 u-v) cdot(u-2 v)|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores específicos: . Sabemos que os comprimentos dos vetores são e , e o ângulo entre eles é radianos. Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades do produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto escalar (2u - v) cdot (u - 2v) = 2u cdot u - 4u cdot v - v cdot u + 2v cdot v usando a distributiva do produto escalar:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. 2(4) - 4(u cdot v) - (u cdot v) + 2(9) = 8 - 5(u cdot v) + 18 = 26 - 5(u cdot v)
  2. é o produto escalar entre e , que vamos calcular usando a fórmula do produto escalar.
Substituindo esses valores:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) . A fórmula do produto escalar em termos de ângulo é:
cos(3pi4) = -raiz22
Onde u cdot v = 2 cdot 3 cdot (-raiz22) = -3raiz2 . Calculando:
Então:

Passo 5

Substituindo 26 - 5(-3raiz2) = 26 + 15raiz2 de volta na expressão que tínhamos:

Passo 6

Finalmente, queremos o valor absoluto desse resultado. Como |26 + 15raiz2| = 26 + 15raiz2 é positivo, o valor absoluto é o próprio valor:

Resposta

O valor absoluto de é .

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