Sejam e . Determine um vetor perpendicular aos vetores e e tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores e , e que também satisfaça a condição . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial entre e e depois usar o produto escalar com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um vetor é perpendicular a dois outros vetores, ele é paralelo ao produto vetorial desses dois vetores. Então, nosso vetor pode ser escrito como:
Aqui, é um escalar que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial para dois vetores e é:
Vamos calcular isso com nossos vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então,

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial, podemos escrever nosso vetor como:
Ou seja,

Passo 5

A próxima etapa é usar a condição dada no problema: . Vamos calcular o produto escalar entre e .
Sabemos que:
Então,
De acordo com a condição:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

Então, substituindo na expressão de :
Portanto, o vetor é:

Exercícios relacionados

Determine a reta simétrica à reta em relação à reta , onde:
, e .
Sejam e três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é . Sabendo que e , calcule .
Sejam e vetores do plano, onde .
Determine o ponto pertencente ao eixo , de modo que e sejam LD.
Sabendo que e que e formam um ângulo de rad, determinar
.