Sejam a=i-2 j+3 k, b=2 i-3 j+k e c=i+2 j-7 k. Determine um vetor v perpendicular aos vetores a e b e tal que v cdot c=100.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor v que seja perpendicular aos vetores a e b, e que também satisfaça a condição v cdot c = 100. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial entre a e b e depois usar o produto escalar com c.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um vetor é perpendicular a dois outros vetores, ele é paralelo ao produto vetorial desses dois vetores. Então, nosso vetor v pode ser escrito como:
v = lambda (a times b)
Aqui, lambda é um escalar que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. A fórmula do produto vetorial para dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Vamos calcular isso com nossos vetores:
a times b = i & j & k 1 & -2 & 3 2 & -3 & 1
Calculando o determinante:
a times b = i((-2)(1) - (3)(-3)) - j((1)(1) - (3)(2)) + k((1)(-3) - (-2)(2))
Simplificando:
a times b = i(-2 + 9) - j(1 - 6) + k(-3 + 4)
a times b = 7i + 5j + 1k
Então,
a times b = 7i + 5j + k

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial, podemos escrever nosso vetor v como:
v = lambda (7i + 5j + k)
Ou seja,
v = 7lambda i + 5lambda j + lambda k

Passo 5

A próxima etapa é usar a condição dada no problema: v cdot c = 100. Vamos calcular o produto escalar entre v e c.
Sabemos que:
c = i + 2j - 7k
Então,
v cdot c = (7lambda)(1) + (5lambda)(2) + (lambda)(-7) = 7lambda + 10lambda - 7lambda = 10lambda
De acordo com a condição:
10lambda = 100

Passo 6

Resolvendo para lambda:
lambda = 10010 = 10

Resposta

Então, substituindo lambda = 10 na expressão de v:
v = 7(10)i + 5(10)j + 10k = 70i + 50j + 10k
Portanto, o vetor v é:
v = 70i + 50j + 10k

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