Sejam e . Determine um vetor perpendicular aos vetores e e tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores e , e que também satisfaça a condição . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial entre e e depois usar o produto escalar com .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um vetor é perpendicular a dois outros vetores, ele é paralelo ao produto vetorial desses dois vetores. Então, nosso vetor pode ser escrito como:
Aqui, é um escalar que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial para dois vetores e é:
Vamos calcular isso com nossos vetores:
a times b = i & j & k 1 & -2 & 3 2 & -3 & 1
Calculando o determinante:
a times b = i((-2)(1) - (3)(-3)) - j((1)(1) - (3)(2)) + k((1)(-3) - (-2)(2))
Simplificando:
a times b = i(-2 + 9) - j(1 - 6) + k(-3 + 4)
a times b = 7i + 5j + 1k
Então,
a times b = 7i + 5j + k
Passo 4
Agora que temos o produto vetorial, podemos escrever nosso vetor v como:
v = lambda (7i + 5j + k)
Ou seja,
v = 7lambda i + 5lambda j + lambda k
Passo 5
A próxima etapa é usar a condição dada no problema: v cdot c = 100. Vamos calcular o produto escalar entre v e c.
Sabemos que:
c = i + 2j - 7k
Então,
v cdot c = (7lambda)(1) + (5lambda)(2) + (lambda)(-7) = 7lambda + 10lambda - 7lambda = 10lambda
De acordo com a condição:
10lambda = 100
Passo 6
Resolvendo para lambda:
lambda = 10010 = 10
Resposta
Então, substituindo lambda = 10 na expressão de v: