Sejam e . Determine um vetor perpendicular aos vetores e e tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores e , e que também satisfaça a condição . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial entre e e depois usar o produto escalar com .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um vetor é perpendicular a dois outros vetores, ele é paralelo ao produto vetorial desses dois vetores. Então, nosso vetor pode ser escrito como:
Aqui, é um escalar que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial para dois vetores e é:
Vamos calcular isso com nossos vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então,
Passo 4
Agora que temos o produto vetorial, podemos escrever nosso vetor como:
Ou seja,
Passo 5
A próxima etapa é usar a condição dada no problema: . Vamos calcular o produto escalar entre e .