Sejam e vetores do plano, onde .
Determine o ponto pertencente ao eixo , de modo que e sejam LD.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: e , onde o ponto é . Queremos encontrar o ponto que está no eixo , ou seja, com coordenadas , de forma que esses dois vetores sejam Linearly Dependent (LD), ou seja, linearesmente dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem lineares dependentes e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem lineares dependentes. Dois vetores são lineares dependentes se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real tal que ou vice-versa.

Passo 3

Vamos encontrar a expressão para o vetor . Sabemos que , o que significa que . Como e , temos:

Passo 4

Agora, sabemos que e . Para que esses vetores sejam lineares dependentes, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá as equações:

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para encontrar :

Passo 6

Com o valor de encontrado, substituímos na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 7

Agora, isolamos :

Resposta

O ponto que pertence ao eixo e faz com que os vetores e sejam lineares dependentes é .

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine um vetor perpendicular aos vetores e e tal que .
Determine a reta simétrica à reta em relação à reta , onde:
, e .
Sabendo que e que e formam um ângulo de rad, determinar
.
Em cada item, determine o valor de para que o conjunto seja LI