Sejam e vetores do plano, onde .
Determine o ponto pertencente ao eixo , de modo que e sejam LD.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: e , onde o ponto é . Queremos encontrar o ponto que está no eixo , ou seja, com coordenadas , de forma que esses dois vetores sejam Linearly Dependent (LD), ou seja, linearesmente dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem lineares dependentes e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem lineares dependentes. Dois vetores são lineares dependentes se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real tal que ou vice-versa.
Passo 3
Vamos encontrar a expressão para o vetor . Sabemos que , o que significa que . Como e , temos:
Passo 4
Agora, sabemos que e . Para que esses vetores sejam lineares dependentes, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá as equações:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para encontrar :
Passo 6
Com o valor de encontrado, substituímos na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, isolamos :
Resposta
O ponto que pertence ao eixo e faz com que os vetores e sejam lineares dependentes é .