Sejam v=(1,2) e w=A B vetores do plano, onde B=(3,4).
Determine o ponto A pertencente ao eixo X, de modo que v e w sejam LD.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: v = (1, 2) e w = AB, onde o ponto B é (3, 4). Queremos encontrar o ponto A que está no eixo X, ou seja, com coordenadas (a, 0), de forma que esses dois vetores sejam Linearly Dependent (LD), ou seja, linearesmente dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem lineares dependentes e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem lineares dependentes. Dois vetores são lineares dependentes se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real k tal que v = k cdot w ou vice-versa.

Passo 3

Vamos encontrar a expressão para o vetor w. Sabemos que w = AB, o que significa que w = B - A. Como B = (3, 4) e A = (a, 0), temos:
w = (3 - a, 4 - 0) = (3 - a, 4)

Passo 4

Agora, sabemos que v = (1, 2) e w = (3 - a, 4). Para que esses vetores sejam lineares dependentes, deve existir um escalar k tal que:
v = k cdot w
Isso nos dá as equações:
1 = k cdot (3 - a)
2 = k cdot 4

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para encontrar k:
2 = 4k implies k = 24 = 12

Passo 6

Com o valor de k encontrado, substituímos na primeira equação:
1 = 12 cdot (3 - a)
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2 = 3 - a

Passo 7

Agora, isolamos a:
a = 3 - 2 = 1

Resposta

O ponto A que pertence ao eixo X e faz com que os vetores v e w sejam lineares dependentes é A = (1, 0).

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