(2,0) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 4 , se det A=3 e det B=65 então
det(-2 A cdot B^-1)=-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes quadradas, e , cada uma com ordem 4. Sabemos que o determinante de é 3, ou seja, , e o determinante de é , ou seja, . A gente precisa calcular o determinante de e ver se isso dá igual a .
Conteúdo da matéria: Vamos usar propriedades dos determinantes, especialmente quando lidamos com multiplicação de matrizes, matrizes inversas e fatores escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes:
  1. Determinante do produto de duas matrizes: Para duas matrizes det(AB) = det A cdot det B e det(B^-1) = 1det B de ordem det(kA) = k^n cdot det A , temos:
  2. Determinante da matriz inversa: Para uma matriz invertível , o determinante da inversa é o inverso do determinante de :
  3. Determinante de uma matriz multiplicada por um escalar: Se multiplicarmos uma matriz por um escalar , o determinante muda de acordo com:
    onde é a ordem da matriz.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades no nosso caso.
Primeiro, queremos calcular det(-2A) = (-2)^4 cdot det A .
Podemos separar o determinante dessa expressão em duas partes: o escalar (-2)^4 = 16 e o produto das matrizes det(-2A) = 16 cdot 3 = 48 e det(B^-1) = 1det B = 165 = 56 .
Usando a terceira propriedade:
det(-2A cdot B^-1) = det(-2A) cdot det(B^-1) = 48 cdot 56
Como é de ordem 4.
Calculando:
Então:
Agora, vamos considerar :
Agora, aplicando a primeira propriedade para o produto das matrizes:

Passo 4

Vamos fazer a multiplicação:
48 cdot 56 = 8 cdot 5 = 40

Resposta

O determinante de é igual a , então a afirmação de que está errada.

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