Sabendo que sec(x) = -2, calcule: sen(x), cos(x) * tg(x) * cos(sec(x)), cotg(x) * sen(2x), cos(2x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que e pede para calcularmos quatro funções trigonométricas diferentes: , , e . Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e relacionamentos entre as funções trigonométricas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o inverso de . Ou seja:
Dado que , podemos encontrar :

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos encontrar usando a relação fundamental das funções trigonométricas:
Substituindo :
Para determinar o sinal de , precisamos saber em qual quadrante o ângulo está. Como e é negativo, isso significa que é negativo, o que acontece no segundo e terceiro quadrantes.
Vamos assumir que x está no segundo quadrante, onde é positivo. Portanto:

Passo 4

Agora vamos calcular .
Primeiro, sabemos que , então:
Em seguida, precisamos calcular . Sabemos que , então:
Como é uma função par, . Vamos deixar essa parte para o final, já que não temos um valor exato para sem uma calculadora.
Agora, substituindo na expressão original:

Passo 5

Agora vamos calcular .
Sabemos que , então:
Para , usamos a identidade:
Substituindo os valores que já encontramos:
Agora, multiplicando por :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular . Podemos usar a identidade de duplicação para o cosseno:
Substituindo :

Resposta

Portanto, os valores calculados são:

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