Sabendo que , calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que e pede para calcularmos quatro funções trigonométricas diferentes: , , e . Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e relacionamentos entre as funções trigonométricas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o inverso de . Ou seja:
Dado que , podemos encontrar :

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos encontrar usando a relação fundamental das funções trigonométricas:
Substituindo :
Para determinar o sinal de , precisamos saber em qual quadrante o ângulo está. Como e é negativo, isso significa que é negativo, o que acontece no segundo e terceiro quadrantes.
Vamos assumir que está no segundo quadrante, onde é positivo. Portanto:

Passo 4

Agora vamos calcular .
Primeiro, sabemos que , então:
Em seguida, precisamos calcular . Sabemos que , então:
Como é uma função par, . Vamos deixar essa parte para o final, já que não temos um valor exato para sem uma calculadora.
Agora, substituindo na expressão original:

Passo 5

Agora vamos calcular .
Sabemos que , então:
Para , usamos a identidade:
Substituindo os valores que já encontramos:
Agora, multiplicando por :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular . Podemos usar a identidade de duplicação para o cosseno:
Substituindo :

Resposta

Portanto, os valores calculados são:

Exercícios relacionados

Fatore as expressões abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Use V ou F conforme o caso:
a)
( )

  1. ( )
    b)
    ( )
    m)
    ( )
    c)
    ( )
    n)
    ( )
    d)
    ( )
    o) de Euler
    ( )
    e)
    ( )
    p)
    ( )
    f)
    q)
    g)
    r)
    h)
    ( )
    s)
    ( )
    i) ( )
    t)
    j)
    u)
    ( )
    k)
    ( )
    v)
    ( )
Derive a função dada:
Derive a função dada: