Sabendo que
, calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que
e pede para calcularmos quatro funções trigonométricas diferentes: , , e
. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e relacionamentos entre as funções trigonométricas básicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o inverso de
. Ou seja:
Dado que
, podemos encontrar
:
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos encontrar usando a relação fundamental das funções trigonométricas:
Substituindo
:
Para determinar o sinal de , precisamos saber em qual quadrante o ângulo
está. Como
e
é negativo, isso significa que
é negativo, o que acontece no segundo e terceiro quadrantes.
Vamos assumir que
está no segundo quadrante, onde é positivo. Portanto:
Passo 4
Agora vamos calcular .
Primeiro, sabemos que , então:
Em seguida, precisamos calcular
. Sabemos que
, então:
Como
é uma função par,
. Vamos deixar essa parte para o final, já que não temos um valor exato para
sem uma calculadora.
Agora, substituindo na expressão original:
Passo 5
Agora vamos calcular .
Sabemos que , então:
Para , usamos a identidade:
Substituindo os valores que já encontramos:
Agora, multiplicando
por :
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
. Podemos usar a identidade de duplicação para o cosseno:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, os valores calculados são:
Exercícios relacionados
Fatore as expressões abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Use V ou F conforme o caso:
a)
( )
a)
( )
-
( )
b)
( )
m)
( )
c)
( )
n)
( )
d)
( )
o)de Euler
( )
e)
( )
p)
( )
f)
q)
g)
r)
h)
( )
s)
( )
i)( )
t)
j)
u)
( )
k)
( )
v)
( )
Derive a função dada:
Derive a função dada: