Sabendo que
, calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que
e pede para calcularmos quatro funções trigonométricas diferentes: , , e
. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e relacionamentos entre as funções trigonométricas básicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o inverso de
. Ou seja:
Dado que
, podemos encontrar
:
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos encontrar usando a relação fundamental das funções trigonométricas:
Substituindo
:
Para determinar o sinal de , precisamos saber em qual quadrante o ângulo
está. Como
e
é negativo, isso significa que
é negativo, o que acontece no segundo e terceiro quadrantes.
Vamos assumir que
está no segundo quadrante, onde é positivo. Portanto:
Passo 4
Agora vamos calcular .
Primeiro, sabemos que , então:
Em seguida, precisamos calcular
. Sabemos que
, então:
Como
é uma função par,
. Vamos deixar essa parte para o final, já que não temos um valor exato para
sem uma calculadora.
Agora, substituindo na expressão original:
Passo 5
Agora vamos calcular .
Sabemos que , então:
Para , usamos a identidade:
Substituindo os valores que já encontramos:
Agora, multiplicando
por :
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
. Podemos usar a identidade de duplicação para o cosseno:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, os valores calculados são: