Sabendo que T: R^2 longrightarrow R^2 é um operador linear e que
T(1,2)=(3,-1), T(0,1)=(1,2)
determine T(x, y), onde (x, y) é um vetor genérico de R^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um operador linear que transforma vetores do plano. Sabemos como ele age sobre dois vetores específicos: e . Nosso objetivo é descobrir como esse operador age sobre um vetor genérico .

Passo 2

Como é um operador linear, podemos usar a propriedade da linearidade, que diz que para quaisquer vetores e e escalares e . Isso significa que podemos expressar como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 3

Vamos encontrar coeficientes (x, y) = a(1,2) + b(0,1) e x = a cdot 1 + b cdot 0 y = a cdot 2 + b cdot 1 tais que:
x = a y = 2a + b
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando, temos:

Passo 4

Resolvendo o sistema para a = x e y = 2x + b implies b = y - 2x :
Substituímos na segunda equação:

Passo 5

Agora que temos T(x, y) = T(a(1,2) + b(0,1)) = aT(1,2) + bT(0,1) e T(x, y) = x(3,-1) + (y - 2x)(1,2) , podemos usar a propriedade da linearidade para encontrar :
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Vamos calcular a soma vetorial:
T(x, y) = (3x, -x) + (y - 2x, 2(y - 2x))
= (3x + y - 2x, -x + 2y - 4x)
= (x + y, 2y - 5x)

Resposta

Portanto, o operador linear T(x, y) = (x + y, 2y - 5x) aplicado a resulta em:

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