Sabendo que
é um operador linear e que
determine
, onde
é um vetor genérico de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um operador linear
que transforma vetores do plano. Sabemos como ele age sobre dois vetores específicos:
e
. Nosso objetivo é descobrir como esse operador age sobre um vetor genérico
.
Passo 2
Como
é um operador linear, podemos usar a propriedade da linearidade, que diz que
para quaisquer vetores
e
e escalares
e
. Isso significa que podemos expressar
como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 3
Vamos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando, temos:
Passo 4
Resolvendo o sistema para
e
:
Substituímos
na segunda equação:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos usar a propriedade da linearidade para encontrar
:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Vamos calcular a soma vetorial:
Resposta
Portanto, o operador linear
aplicado a
resulta em: