Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço imagem de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação e bases de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todas as combinações lineares das imagens dos vetores da base do domínio. No nosso caso, a base de é . Então, a imagem de é formada por todas as combinações lineares de , e .
Passo 3
Vamos escrever essas imagens como vetores no espaço , que é o espaço de polinômios de grau até 3. Podemos representar cada polinômio pelos seus coeficientes:
Aqui, cada ponto representa o vetor de coeficientes para o polinômio .
Passo 4
Agora, para encontrar uma base para , precisamos determinar quais desses vetores são linearmente independentes. Para isso, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e realizamos a redução para a forma escalonada:
Passo 5
Vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz:
Troque a primeira e a terceira linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & 0 & -1
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1
Subtraia a primeira linha da quarta linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 0 & -1 & -2
Subtraia a terceira linha da quarta linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 0 & 0 & 0
Passo 6
Após a redução, vemos que as colunas 1 e 2 possuem pivôs (elementos principais), enquanto a coluna 3 não. Isso indica que os dois primeiros vetores são linearmente independentes, e o terceiro pode ser escrito como combinação dos primeiros.
Portanto, uma base para 2 + x^2 + x^3, ; 1 + x^2 é formada pelos dois primeiros vetores que mantiveram a independência: