Seja T: R^3 longrightarrow P3(R) a transformação linear tal que
T(1,0,0)=2+x^2+x^3, T(0,1,0)=1+x^2, T(0,0,1)=x^2-x^3
Determine uma base para o subespaço Im(T).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(1,0,0) = 2 + x^2 + x^3, T(0,1,0) = 1 + x^2, T(0,0,1) = x^2 - x^3 definida por:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço imagem de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação e bases de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todas as combinações lineares das imagens dos vetores da base do domínio. No nosso caso, a base de é . Então, a imagem de é formada por todas as combinações lineares de , e .

Passo 3

Vamos escrever essas imagens como vetores no espaço T(1,0,0) = 2 + x^2 + x^3 Rightarrow (2, 0, 1, 1) , que é o espaço de polinômios de grau até 3. Podemos representar cada polinômio pelos seus coeficientes:
T(0,1,0) = 1 + x^2 Rightarrow (1, 0, 1, 0)
T(0,0,1) = x^2 - x^3 Rightarrow (0, 0, 1, -1)
Aqui, cada ponto representa o vetor de coeficientes para o polinômio .

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & -1 , precisamos determinar quais desses vetores são linearmente independentes. Para isso, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e realizamos a redução para a forma escalonada:

Passo 5

Vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz:
  1. Troque a primeira e a terceira linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & 0 & -1
  1. Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1
  1. Subtraia a primeira linha da quarta linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 0 & -1 & -2
  1. Subtraia a terceira linha da quarta linha:
1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 0 & 0 & 0

Passo 6

Após a redução, vemos que as colunas 1 e 2 possuem pivôs (elementos principais), enquanto a coluna 3 não. Isso indica que os dois primeiros vetores são linearmente independentes, e o terceiro pode ser escrito como combinação dos primeiros.
Portanto, uma base para 2 + x^2 + x^3, ; 1 + x^2 é formada pelos dois primeiros vetores que mantiveram a independência:

Resposta

Uma base para é .

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Seja T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: Ker(T) e Im(T);
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determine T(x, y), onde (x, y) é um vetor genérico de R^2.
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