Seja T: R^3 longrightarrow P3(R) a transformação linear tal que
T(1,0,0)=2+x^2+x^3, T(0,1,0)=1+x^2, T(0,0,1)=x^2-x^3
Determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de transformação linear. A gente precisa descobrir como essa transformação age sobre um vetor qualquer em . Para isso, vamos usar as informações que já nos deram sobre como transforma os vetores da base canônica , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(au + bv) = aT(u) + bT(v) é linear se, para quaisquer vetores e e escalares e , vale que:
Isso significa que a transformação preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, queremos encontrar (x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) . Como T(x, y, z) = T(x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)) é linear, podemos expressar como uma combinação linear dos vetores da base:
Aplicando a transformação nessa combinação:

Passo 4

Usando a propriedade da linearidade que mencionamos, podemos distribuir T(x, y, z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1) sobre a soma:
T(x, y, z) = x(2 + x^2 + x^3) + y(1 + x^2) + z(x^2 - x^3)
Agora, substituímos cada pelos valores que foram dados no enunciado:

Passo 5

Por fim, vamos simplificar essa expressão combinando os termos:
T(x, y, z) = 2x + x^3 + x^4 + y + yx^2 + zx^2 - zx^3
Mas percebemos que há termos com T(x, y, z) = 2x + y + (y + z)x^2 + (1 - z)x^3 e que podem não se encaixar no espaço de polinômios de grau até 3. Contudo, como estamos trabalhando em , ajustamos para os termos de até :

Resposta

A transformação linear é dada por:
T(x, y, z) = 2x + y + (y + z)x^2 + (1 - z)x^3

Exercícios relacionados