Seja
a transformação linear tal que
Determine
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de transformação linear. A gente precisa descobrir como essa transformação
age sobre um vetor qualquer
em
. Para isso, vamos usar as informações que já nos deram sobre como
transforma os vetores da base canônica
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e escalares
e
, vale que:
Isso significa que a transformação preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Como
é linear, podemos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base:
Aplicando a transformação
nessa combinação:
Passo 4
Usando a propriedade da linearidade que mencionamos, podemos distribuir
sobre a soma:
Agora, substituímos cada
pelos valores que foram dados no enunciado:
Passo 5
Por fim, vamos simplificar essa expressão combinando os termos:
Mas percebemos que há termos com
e
que podem não se encaixar no espaço de polinômios de grau até 3. Contudo, como estamos trabalhando em
, ajustamos para os termos de até
:
Resposta
A transformação linear é dada por: