Seja
dada por
.
Mostre que
é uma transformação linear;
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que
é uma transformação linear. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está falando:
- Enunciado resumido: Temos uma função
que pega polinômios de grau até 2 (usando ) e os transforma em polinômios de grau até 3 ( ). A regra dessa transformação é , onde é a derivada de . - Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços vetoriais.
- O que precisamos: Precisamos verificar se
satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: - Adição:
para todos os no espaço. - Multiplicação por escalar:
para todo escalar e todo vetor no espaço.
- Adição:
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja
e
dois polinômios em
. Queremos ver se:
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
Calculando a derivada:
Então:
Lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um número real e
um polinômio em
. Queremos ver se:
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
Calculando a derivada:
Então:
Lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Sabendo que
é um operador linear e que
determine
, onde
é um vetor genérico de
.
Seja
a transformação linear tal que
Determine uma base para o subespaço
.
Seja
a transformação linear tal que
Determine
.
Verifique se é linear a aplicação
, dada por
.