Seja T: P2(R) longrightarrow P3(R) dada por T(p(x))=p^prime(x)+x p(x).
Mostre que T é uma transformação linear;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que é uma transformação linear. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está falando:
  • Enunciado resumido: Temos uma função que pega polinômios de grau até 2 (usando ) e os transforma em polinômios de grau até 3 ( ). A regra dessa transformação é , onde é a derivada de .
  • Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços vetoriais.
  • O que precisamos: Precisamos verificar se satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares:
    1. Adição: para todos os no espaço.
    2. Multiplicação por escalar: para todo escalar e todo vetor no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja T(u(x) + v(x)) = T(u(x)) + T(v(x)) e T(u(x) + v(x)) = (u(x) + v(x))' + x(u(x) + v(x)) dois polinômios em (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x) . Queremos ver se:
T(u(x) + v(x)) = u'(x) + v'(x) + x u(x) + x v(x)
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
T(u(x)) + T(v(x)) = [u'(x) + x u(x)] + [v'(x) + x v(x)] = u'(x) + v'(x) + x u(x) + x v(x)
Calculando a derivada:
T(u(x) + v(x)) = T(u(x)) + T(v(x))
Então:
Lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja T(c cdot u(x)) = c cdot T(u(x)) um número real e T(c cdot u(x)) = (c cdot u(x))' + x (c cdot u(x)) um polinômio em (c cdot u(x))' = c cdot u'(x) . Queremos ver se:
T(c cdot u(x)) = c cdot u'(x) + c cdot x u(x) = c (u'(x) + x u(x))
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
c cdot T(u(x)) = c cdot [u'(x) + x u(x)] = c u'(x) + c x u(x)
Calculando a derivada:
T(c cdot u(x)) = c cdot T(u(x))
Então:
Lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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