Seja T uma transformação linear em R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-z,-z) T é sobrejetiva? Justifique ( 3,0 pontos)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O conteúdo envolvido aqui é Transformações Lineares e, mais especificamente, vamos verificar se essa transformação é sobrejetiva. Para isso, precisamos analisar se, para todo vetor no espaço de chegada , existe pelo menos um vetor no espaço de partida que mapeie para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T = 0 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 como uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma coluna da matriz. Assim, temos:

Passo 3

Para verificar se é sobrejetiva, precisamos checar se a matriz de tem posto (rank) igual à dimensão do espaço de chegada, que é 3. Isso significa que as colunas da matriz devem ser linearmente independentes e preencher todo o espaço .

Passo 4

Vamos calcular o posto da matriz 0 1 0 , 0 0 0 , 1 -1 -1 . Observando as colunas:
A segunda coluna é o vetor nulo, que não contribui para o posto. As outras duas colunas são diferentes e não são múltiplos uma da outra, então elas são linearmente independentes. Portanto, o posto da matriz é 2.

Passo 5

Como o posto da matriz é 2, que é menor que a dimensão do espaço de chegada (3), isso significa que não preenche todo . Em outras palavras, existem vetores em que não têm uma imagem através de .

Resposta

Não, a transformação não é sobrejetiva.

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