Seja uma transformação linear em dada por é sobrejetiva? Justifique ( 3,0 pontos)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O conteúdo envolvido aqui é Transformações Lineares e, mais especificamente, vamos verificar se essa transformação é sobrejetiva. Para isso, precisamos analisar se, para todo vetor no espaço de chegada , existe pelo menos um vetor no espaço de partida que mapeie para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma coluna da matriz. Assim, temos:
Passo 3
Para verificar se é sobrejetiva, precisamos checar se a matriz de tem posto (rank) igual à dimensão do espaço de chegada, que é 3. Isso significa que as colunas da matriz devem ser linearmente independentes e preencher todo o espaço .
Passo 4
Vamos calcular o posto da matriz . Observando as colunas:
A segunda coluna é o vetor nulo, que não contribui para o posto. As outras duas colunas são diferentes e não são múltiplos uma da outra, então elas são linearmente independentes. Portanto, o posto da matriz é 2.
Passo 5
Como o posto da matriz é 2, que é menor que a dimensão do espaço de chegada (3), isso significa que não preenche todo . Em outras palavras, existem vetores em que não têm uma imagem através de .