Seja
e
o subespaço gerado por
e
.
Encontre uma base para
considerando
com o produto interno canônico.
Encontre uma base para
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que encontrar uma base para
no espaço
, onde
é o subespaço gerado pelos vetores
e
. Vamos usar o conceito de produto interno canônico para resolver isso.
Matéria envolvida: Espaços vetoriais, subespaços, produto interno, ortogonalidade.
O que vamos precisar:
- Conhecer o que é o complemento ortogonal
. - Saber como encontrar vetores que são ortogonais a todos os vetores de
. - Resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O complemento ortogonal de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor de
. Ou seja,
Aqui,
representa o produto interno canônico, que no caso de
é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Passo 3
Os vetores que geram
são
e
. Para encontrar
, precisamos encontrar um vetor
que seja ortogonal a ambos
e
.
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre
,
e
.
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira equação:
Então, podemos expressar
e
em termos de
:
Passo 5
Agora, podemos parametrizar os vetores
em
:
Isso mostra que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
.
Passo 6
Assim,
é gerado pelo vetor
. Portanto, uma base para
é:
Resposta
Uma base para
é
.
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e
. Determine
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de tamanho 28, paralelo a
, e de sentido contrário a
.