Seja V=R^3 e W o subespaço gerado por (1,0,1) e (1,1,0).
Encontre uma base para W^perp considerando V com o produto interno canônico.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que encontrar uma base para no espaço , onde é o subespaço gerado pelos vetores e . Vamos usar o conceito de produto interno canônico para resolver isso.
Matéria envolvida: Espaços vetoriais, subespaços, produto interno, ortogonalidade.
O que vamos precisar:
  • Conhecer o que é o complemento ortogonal .
  • Saber como encontrar vetores que são ortogonais a todos os vetores de .
  • Resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é W^perp = v in R^3 mid v cdot w = 0 para todo w in W . O complemento ortogonal de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja,
Aqui, representa o produto interno canônico, que no caso de é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 3

Os vetores que geram v cdot w1 = x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 1 = x + z = 0 são v cdot w2 = x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 0 e . Para encontrar , precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e .
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações lineares:
x + z = 0 x + y = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre - y + z = 0 implies z = y , x = -y z = y e .
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Então, podemos expressar e em termos de :

Passo 5

Agora, podemos parametrizar os vetores v = (x, y, z) = (-y, y, y) = y cdot (-1, 1, 1) em :
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 6

Assim, , (-1, 1, 1) , é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é:

Resposta

Uma base para é .

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