Seja e o subespaço gerado por e .
Encontre uma base para considerando com o produto interno canônico.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que encontrar uma base para no espaço , onde é o subespaço gerado pelos vetores e . Vamos usar o conceito de produto interno canônico para resolver isso.
Matéria envolvida: Espaços vetoriais, subespaços, produto interno, ortogonalidade.
O que vamos precisar:
  • Conhecer o que é o complemento ortogonal .
  • Saber como encontrar vetores que são ortogonais a todos os vetores de .
  • Resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O complemento ortogonal de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja,
Aqui, representa o produto interno canônico, que no caso de é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 3

Os vetores que geram são e . Para encontrar , precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e .
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre , e .
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Então, podemos expressar e em termos de :

Passo 5

Agora, podemos parametrizar os vetores em :
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 6

Assim, é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é:

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados

Seja uma transformação linear em dada por é sobrejetiva? Justifique ( 3,0 pontos)
Seja uma transformação linear em dada por Indique o núcleo de , a sua dimensão e uma base
Sabendo que é uma transformação linear e que e . Determine pontos)
É dado um vetor de tamanho 4. Determine um vetor de tamanho 28, paralelo a , e de sentido contrário a .