Sabendo que e (v, w, x)=2, calcular:
a) (u, x,-w)
b) (2 u+v, 2 w,-x).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcularmos dois produtos mistos envolvendo vetores. O produto misto, ou produto escalar triplo, é uma operação que nos dá um número a partir de três vetores. Aqui, a matéria envolvida é álgebra vetorial, especificamente propriedades do produto misto. Vamos precisar lembrar que o produto misto é linear em cada um dos vetores e como trocar a ordem pode mudar o sinal do resultado.
Passo 2
Vamos resolver a parte a): (u, x, -w). Primeiro, lembrando das propriedades do produto misto, sabemos que podemos fatorar constantes multiplicativas fora dos vetores. Então, o “-w” pode ser trazido como um multiplicador:
(u, x, -w) = -(u, x, w)
Agora, observamos que o produto misto (u, w, x) = 5. Mas queremos (u, x, w). Sabemos que trocar dois vetores no produto misto muda o sinal:
(u, x, w) = -(u, w, x) = -5
Substituindo de volta:
(u, x, -w) = -(-5) = 5
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): (2u+v, 2w, -x). Vamos usar a propriedade de linearidade do produto misto em relação ao primeiro vetor:
(2u+v, 2w, -x) = 2(u, 2w, -x) + (v, 2w, -x)
Simplificando as constantes multiplicativas:
= 2 times 2 times (-1) (u, w, x) + 2 times (-1) (v, w, x)