Sabendo que , determine e para que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas expressões complexas, e . O objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que seja igual a . Para isso, vamos precisar entender como comparar números complexos, ou seja, igualar suas partes reais e imaginárias separadamente.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que um número complexo tem duas partes: a parte real e a parte imaginária. Quando queremos que dois números complexos sejam iguais, precisamos garantir que a parte real de um seja igual à parte real do outro, e a parte imaginária de um seja igual à parte imaginária do outro. Então, vamos separar as partes reais e imaginárias de e .

Passo 3

Vamos identificar as partes reais e imaginárias:
  • Para :
    • Parte real:
    • Parte imaginária:
  • Para :
    • Parte real:
    • Parte imaginária:

Passo 4

Agora, igualamos as partes reais e as partes imaginárias:
  1. Parte real:
  2. Parte imaginária:

Passo 5

Vamos resolver a equação da parte real primeiro:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então, ou .

Passo 6

Agora, resolvemos a equação da parte imaginária:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Resposta

Os valores que satisfazem são ou e .

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Dê o conjugado do número complexo abaixo:
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