Sejam quatro pontos a, b, c, d dispostos sobre uma mesma reta r nessa ordem e tais que Ab e cd sejam congruentes. Demonstre que os segmentos Ab e Bc têm o mesmo ponto médio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos $ A, B, C, D $ alinhados numa reta na ordem $ A, B, C, D $. Sabemos que os segmentos $ AB $ e $ CD $ têm o mesmo comprimento (são congruentes). Nosso objetivo é mostrar que os segmentos $ AB $ e $ BC $ compartilham o mesmo ponto médio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, atribuindo coordenadas aos pontos para facilitar os cálculos.
Passo 2
Vamos imaginar essa reta como uma linha numérica e atribuir coordenadas aos pontos. Vamos colocar o ponto $ A $ na posição 0. Assim, podemos chamar a posição de $ B $ de $ x $, de $ C $ de $ y $ e de $ D $ de $ z $. Então, temos:
Como os pontos estão nessa ordem na reta, sabemos que:
Passo 3
Sabemos que os segmentos $ AB $ e $ CD $ são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Isso significa que a distância entre $ A $ e $ B $ é igual à distância entre $ C $ e $ D $. Em termos de coordenadas:
Como $ AB = CD $, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos médios dos segmentos $ AB $ e $ BC $.
Para o segmento $ AB $, o ponto médio $ M_{AB} $ é:
Para o segmento $ BC $, o ponto médio $ M_{BC} $ é:
Passo 5
Queremos mostrar que $ M_{AB} = M_{BC} $. Vamos igualar as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo $ x $ de ambos os lados:
Isso implica que $ y = 0 $, o que contradiz a ordem dos pontos $ A, B, C, D $. Portanto, algo está estranho. Vamos verificar nossos passos.
Passo 6
Revisando o Passo 3, sabemos que $ x = z - y $. Substituindo $ z $ na expressão do ponto médio:
E para $ M_{AB} $:
Para que $ M_{AB} = M_{BC} $, temos:
Simplificando:
Novamente, isso não faz sentido com $ y > x > 0 $. Isso nos indica que, na verdade, os segmentos $ AB $ e $ BC $ não podem ter o mesmo ponto médio a menos que $ B $ coincida com $ C $, o que violaria a ordem dada.
Resposta
Após analisar os segmentos e suas posições, concluímos que, dado que $ AB $ e $ CD $ são congruentes e os pontos estão alinhados na ordem $ A, B, C, D $, os segmentos $ AB $ e $ BC $ não podem ter o mesmo ponto médio a menos que $ B $ e $ C $ coincidam, o que não ocorre na disposição apresentada. Portanto, a afirmação não é válida nessas condições.