Sejam quatro pontos a, b, c, d dispostos sobre uma mesma reta r nessa ordem e tais que Ab e cd sejam congruentes. Demonstre que os segmentos Ab e Bc têm o mesmo ponto médio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos $ A, B, C, D $ alinhados numa reta na ordem $ A, B, C, D $. Sabemos que os segmentos $ AB $ e $ CD $ têm o mesmo comprimento (são congruentes). Nosso objetivo é mostrar que os segmentos $ AB $ e $ BC $ compartilham o mesmo ponto médio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, atribuindo coordenadas aos pontos para facilitar os cálculos.

Passo 2

Vamos imaginar essa reta como uma linha numérica e atribuir coordenadas aos pontos. Vamos colocar o ponto $ A $ na posição 0. Assim, podemos chamar a posição de $ B $ de $ x $, de $ C $ de $ y $ e de $ D $ de $ z $. Então, temos:
A
Como os pontos estão nessa ordem na reta, sabemos que:
B

Passo 3

Sabemos que os segmentos $ AB $ e $ CD $ são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Isso significa que a distância entre $ A $ e $ B $ é igual à distância entre $ C $ e $ D $. Em termos de coordenadas:
AB
CD
Como $ AB = CD $, temos:
A

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos médios dos segmentos $ AB $ e $ BC $.
Para o segmento $ AB $, o ponto médio $ M_{AB} $ é:
AB
Para o segmento $ BC $, o ponto médio $ M_{BC} $ é:
BC

Passo 5

Queremos mostrar que $ M_{AB} = M_{BC} $. Vamos igualar as duas expressões:
MAB = MBC
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
x2 = x + y2
Subtraindo $ x $ de ambos os lados:
x = x + y
Isso implica que $ y = 0 $, o que contradiz a ordem dos pontos $ A, B, C, D $. Portanto, algo está estranho. Vamos verificar nossos passos.

Passo 6

Revisando o Passo 3, sabemos que $ x = z - y $. Substituindo $ z $ na expressão do ponto médio:
x = z - y
E para $ M_{AB} $:
z
Para que $ M_{AB} = M_{BC} $, temos:
MBC = x + y2 = z - y + y2 = z2
Simplificando:
MAB
MAB = x2 = z - y2
Novamente, isso não faz sentido com $ y > x > 0 $. Isso nos indica que, na verdade, os segmentos $ AB $ e $ BC $ não podem ter o mesmo ponto médio a menos que $ B $ coincida com $ C $, o que violaria a ordem dada.

Resposta

Após analisar os segmentos e suas posições, concluímos que, dado que $ AB $ e $ CD $ são congruentes e os pontos estão alinhados na ordem $ A, B, C, D $, os segmentos $ AB $ e $ BC $ não podem ter o mesmo ponto médio a menos que $ B $ e $ C $ coincidam, o que não ocorre na disposição apresentada. Portanto, a afirmação não é válida nessas condições.

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