Um saco contém três moedas, 2 honestas e 1 viciada (com duas caras). Escolhe-se aleatoriamente uma moeda do saco e efetua-se três lançamentos sucessivos com a mesma moeda.
Dado que ocorreram três caras, determine é a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a viciada.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um saco com 3 moedas: 2 honestas (cada uma tem uma cara e uma coroa) e 1 viciada (tem duas caras). A gente escolhe uma moeda aleatoriamente e faz 3 lançamentos. Se derem três caras, queremos saber qual a probabilidade de que a moeda escolhida foi a viciada. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e uma árvore de possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as moedas:
  • Moeda 1 (M1): Honesta (1 cara e 1 coroa)
  • Moeda 2 (M2): Honesta (1 cara e 1 coroa)
  • Moeda Viciada (MV): Tem duas caras
Como a escolha é aleatória, cada moeda tem a mesma chance de ser escolhida:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter três caras com cada tipo de moeda.
  • Para a moeda viciada (MV):
    Como ela tem duas caras, sempre que a lançamos, sai cara. Então, a probabilidade de dar três caras é:
  • Para uma moeda honesta (M1 ou M2):
    Cada lançamento tem 50% de chance de dar cara. Então, para três lançamentos:

Passo 4

Vamos agora calcular a probabilidade total de obter três caras, considerando todas as moedas.
Como temos 2 moedas honestas e 1 viciada:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de a moeda escolhida ser a viciada, dado que obtivemos três caras. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

A probabilidade de que a moeda escolhida foi a viciada, dado que ocorreram três caras, é .

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