Use a derivação implicita para encontrar
e
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação que relaciona as variáveis
,
e
:
. A matéria que vamos usar para resolver isso é a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas de funções que estão definidas de forma implícita, ou seja, não está fácil isolar uma variável em termos das outras. Vamos precisar entender como derivar ambos os lados da equação em relação a
e
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro:
Aqui,
é uma função de
e
, então quando diferenciamos em relação a
ou
, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
:
Assumindo que
é uma constante, a derivada de
em relação a
é zero:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
: derivamos
e deixamos
, mais
vezes a derivada de
. Como
é tratada como constante em relação a
, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Subtraímos
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Diferenciamos a equação original em relação a
:
Novamente, a derivada de
em relação a
é zero:
Usamos a regra do produto semelhante ao passo anterior.
Passo 6
Resolvemos para
:
Subtraímos
de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais são: