Use a derivação implicita para encontrar e .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação que relaciona as variáveis , e : . A matéria que vamos usar para resolver isso é a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas de funções que estão definidas de forma implícita, ou seja, não está fácil isolar uma variável em termos das outras. Vamos precisar entender como derivar ambos os lados da equação em relação a e , tratando como uma função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro:
Aqui, é uma função de e , então quando diferenciamos em relação a ou , precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a :
Assumindo que é uma constante, a derivada de em relação a é zero:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar : derivamos e deixamos , mais vezes a derivada de . Como é tratada como constante em relação a , a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Subtraímos de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Diferenciamos a equação original em relação a :
Novamente, a derivada de em relação a é zero:
Usamos a regra do produto semelhante ao passo anterior.

Passo 6

Resolvemos para :
Subtraímos de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Um saco contém três moedas, 2 honestas e 1 viciada (com duas caras). Escolhe-se aleatoriamente uma moeda do saco e efetua-se três lançamentos sucessivos com a mesma moeda.
Calcule a probabilidade de que ocorra mais coroas do que caras.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.
Um saco contém três moedas, 2 honestas e 1 viciada (com duas caras). Escolhe-se aleatoriamente uma moeda do saco e efetua-se três lançamentos sucessivos com a mesma moeda.
Dado que ocorreram três caras, determine é a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a viciada.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.
varia de a , compare os valores de e .
Determine a diferencial da função.