Use a derivação implicita para encontrar partial z / partial x e partial z / partial y. e^i=x y z

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação que relaciona as variáveis , e : . A matéria que vamos usar para resolver isso é a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas de funções que estão definidas de forma implícita, ou seja, não está fácil isolar uma variável em termos das outras. Vamos precisar entender como derivar ambos os lados da equação em relação a e , tratando como uma função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro:
e^i = x cdot y cdot z
Aqui, é uma função de e , então quando diferenciamos em relação a ou , precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar encontrando ddx(e^i) = ddx(x cdot y cdot z) . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a 0 = y cdot z + x cdot y cdot partial zpartial x :
Assumindo que é uma constante, a derivada de em relação a é zero:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar : derivamos e deixamos , mais vezes a derivada de . Como é tratada como constante em relação a , a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos resolver para 0 = y cdot z + x cdot y cdot partial zpartial x :
- y cdot z = x cdot y cdot partial zpartial x
Subtraímos partial zpartial x = -zx de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar ddy(e^i) = ddy(x cdot y cdot z) . Diferenciamos a equação original em relação a 0 = x cdot z + x cdot y cdot partial zpartial y :
Novamente, a derivada de em relação a é zero:
Usamos a regra do produto semelhante ao passo anterior.

Passo 6

Resolvemos para 0 = x cdot z + x cdot y cdot partial zpartial y :
- x cdot z = x cdot y cdot partial zpartial y
Subtraímos partial zpartial y = -zy de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -zx e partial zpartial y = -zy

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