Um saco contém três moedas, 2 honestas e 1 viciada (com duas caras). Escolhe-se aleatoriamente uma moeda do saco e efetua-se três lançamentos sucessivos com a mesma moeda.
Calcule a probabilidade de que ocorra mais coroas do que caras.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.
Calcule a probabilidade de que ocorra mais coroas do que caras.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um saco com três moedas: duas são honestas (com cara e coroa) e uma é viciada (com duas caras). A gente vai tirar uma moeda aleatoriamente e fazer três lançamentos com ela. Queremos saber qual a probabilidade de sair mais coroas (tails) do que caras (heads) nesses três lançamentos. Vamos usar a probabilidade total e árvore de possibilidades pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as moedas que temos:
- Moeda honesta: Tem 1 cara e 1 coroa. Então, a probabilidade de dar cara é 0.5 e a de coroa é 0.5.
- Moeda viciada: Tem 2 caras. Então, sempre que lançarmos, vai dar cara. A probabilidade de coroa é 0.
Como temos 2 moedas honestas e 1 viciada, a probabilidade de escolher cada tipo de moeda é:
- Moeda honesta:
- Moeda viciada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de obter mais coroas do que caras em três lançamentos para cada tipo de moeda.
Para a moeda honesta:
Queremos mais coroas que caras em 3 lançamentos. Isso significa que precisamos ter 2 ou 3 coroas.
- Probabilidade de exatamente 2 coroas:
Usamos a fórmula da combinação:
- Probabilidade de exatamente 3 coroas:
- Total para a moeda honesta:
Para a moeda viciada:
Como a moeda viciada tem duas caras, ela nunca dá coroa. Então:
Passo 4
Agora, usamos a probabilidade total para combinar as probabilidades:
Substituindo os valores:
Resposta
A probabilidade de ocorrer mais coroas do que caras é de aproximadamente 33,3%.
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Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.
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Um dominó comum apresenta 28 peças de faces duplas nas quais figuram os números de 0 até 6 . De modo que cada um dos números figura em 7 peças. Curiosamente, cada peça que possui o mesmo número em ambas as faces é chamada de
Se escolhermos de forma aleatória, e sem reposição, 6 peças dentre as 28, determine a probabilidade de retirarmos exatamente 4 peças com o número 2 .
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Use a derivação implicita para encontrar
e
.