Saltando no rio II. Um professor de física faz loucas proezas em suas horas vagas. Sua última façanha foi saltar sobre um rio com sua motocicleta (Figura 3.51). A rampa de decolagem era inclinada de 53,0^circ, a largura do rio era de 40,0 m, e a outra margem estava a 15,0 m abaixo do nível da rampa. O rio estava a 100 m abaixo do nível da rampa.
a) Qual deveria ser sua velocidade para que ele pudesse alcançar a outra margem sem cair no rio?
b) Caso sua velocidade fosse igual à metade do valor encontrado em (a), aonde ele cairia?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física sobre o salto da motocicleta sobre o rio. O problema envolve Movimento Projetil, que é quando um objeto é lançado em um ângulo e segue uma trajetória curva devido à gravidade. Para resolver, precisamos usar as fórmulas de alcance horizontal e tempo de voo, considerando a inclinação da rampa e a diferença de altura entre as margens.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Ângulo da rampa ( theta): 53,0^circ
  • Largura do rio ( d): 40,0 , m
  • Diferença de altura entre a rampa e a outra margem ( h): 15,0 , m

Passo 3

Como o professor vai saltar em uma trajetória de projétil, podemos dividir a velocidade inicial ( v0) em duas componentes:
  • Componente horizontal: v0x = v0 cos(theta)
  • Componente vertical: v0y = v0 sin(theta)

Passo 4

O tempo ( t) que o professor leva para atravessar o rio pode ser encontrado pela distância horizontal dividida pela componente horizontal da velocidade:
t = dv0x = dv0 cos(theta)

Passo 5

Durante esse tempo, a motocicleta também se move verticalmente. A posição vertical final ( y) é dada por:
y = v0y t - 12 g t^2
Onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2).

Passo 6

Sabemos que a outra margem está 15,0 , m abaixo da rampa, então a posição vertical final deve ser:
y = -15,0 , m
Substituindo y e t na equação:
-15 = v0 sin(theta) ( dv0 cos(theta) ) - 12 g ( dv0 cos(theta) )^2

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
-15 = tan(theta) cdot d - g d^22 v0^2 cos^2(theta)
Queremos encontrar v0, então vamos isolar essa variável:
g d^22 v0^2 cos^2(theta) = tan(theta) cdot d + 15
v0^2 = g d^22 cos^2(theta) (tan(theta) cdot d + 15)

Passo 8

Substituindo os valores numéricos:
v0^2 = 9,8 times 40^22 cos^2(53^circ) (tan(53^circ) times 40 + 15)
Calculando passo a passo:
  1. cos(53^circ) approx 0,6018
  2. tan(53^circ) approx 1,3270
  3. tan(53^circ) times 40 + 15 = 1,3270 times 40 + 15 = 53,08 + 15 = 68,08
  4. cos^2(53^circ) = (0,6018)^2 approx 0,3622
  5. Numerador: 9,8 times 1600 = 15.680
  6. Denominador: 2 times 0,3622 times 68,08 approx 49,28
  7. v0^2 = 15.68049,28 approx 318,0
  8. v0 = raiz318,0 approx 17,83 , m/s

Resposta

A velocidade necessária para que o professor alcance a outra margem sem cair no rio é aproximadamente 17,8 , m/s.

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