Seja c uma constante não nula. Verifique que a matriz D=[cc1 & c^-1 c & 1] satisfaz D^2=2 D.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz 1 & c^-1 c & 1 , onde é uma constante não nula. O objetivo é verificar se, ao multiplicar essa matriz por ela mesma ( ), o resultado é igual a duas vezes a matriz original ( ). Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular D^2 = D times D = 1 & c^-1 c & 1 times 1 & c^-1 c & 1 , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma:

Passo 3

Agora, vamos realizar a multiplicação das matrizes passo a passo. Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda e somamos os produtos.
  • Elemento (1,1):
1 times 1 + c^-1 times c = 1 + 1 = 2
  • Elemento (1,2):
1 times c^-1 + c^-1 times 1 = c^-1 + c^-1 = 2c^-1
  • Elemento (2,1):
c times 1 + 1 times c = c + c = 2c
  • Elemento (2,2):
c times c^-1 + 1 times 1 = 1 + 1 = 2
Portanto, a matriz D^2 = 2 & 2c^-1 2c & 2 fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular 2D = 2 times 1 & c^-1 c & 1 = 2 & 2c^-1 2c & 2 :

Resposta

Como 2 & 2c^-1 2c & 2 é igual a 2 & 2c^-1 2c & 2 , concluímos que .

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