São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(t) = 2t - 3, f2(t) = 2t^2 + 1, f3(t) = 3t^2 + t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções que são soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem, e precisamos descobrir se elas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Para isso, vamos usar o Wronskiano, uma ferramenta que nos ajuda a verificar essa independência. Se as funções forem dependentes, também vamos encontrar uma delas como uma combinação linear das outras.

Passo 2

Primeiro, o que é o Wronskiano? O Wronskiano é um determinante que construímos a partir das funções e suas derivadas. Ele nos dá uma ideia de como as funções se comportam juntas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se for zero para todo o intervalo, elas são dependentes.

Passo 3

Vamos construir o Wronskiano das funções dadas:
Primeiro, precisamos das derivadas dessas funções:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, montamos a matriz do Wronskiano usando as funções e suas primeiras e segundas derivadas:

Passo 5

Vamos calcular esse determinante. Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos optar pela terceira linha para simplificar:
Simplificando:

Passo 6

O Wronskiano deu zero para todo valor de t no intervalo (-infinito, infinito). Isso indica que as funções não são linearmente independentes, ou seja, elas são linearmente dependentes nesse intervalo.

Passo 7

Como as funções são dependentes, podemos expressar uma delas como uma combinação linear das outras. Vamos encontrar constantes a e b tais que:
Substituindo as funções:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. Para :
  1. Para t:
  1. Para os termos constantes:

Resposta

As funções são linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Além disso, podemos escrever como uma combinação linear de e :

Exercícios relacionados

(f) 4^(2^(8^x)) = 256
(n) a / b^(-1) + (a / b)^(-1)
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x) = 5, f2(x) = sen^2(x), f3(x) = cos(2x).
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
y'''' + y'' = 0
y(pi) = 0, y' (pi) = 0, y'' (pi) = 1, y''' (pi) = 0;
y1(x) = 1, y2(x) = x, y3(x) = sen x, y4(x) = cos(x).