São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo . Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções que são soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem, e precisamos descobrir se elas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . Para isso, vamos usar o Wronskiano, uma ferramenta que nos ajuda a verificar essa independência. Se as funções forem dependentes, também vamos encontrar uma delas como uma combinação linear das outras.
Passo 2
Primeiro, o que é o Wronskiano? O Wronskiano é um determinante que construímos a partir das funções e suas derivadas. Ele nos dá uma ideia de como as funções se comportam juntas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se for zero para todo o intervalo, elas são dependentes.
Passo 3
Vamos construir o Wronskiano das funções dadas:
Primeiro, precisamos das derivadas dessas funções:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, montamos a matriz do Wronskiano usando as funções e suas primeiras e segundas derivadas:
Passo 5
Vamos calcular esse determinante. Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, vamos optar pela terceira linha para simplificar:
Simplificando:
Passo 6
O Wronskiano deu zero para todo valor de t no intervalo (-infinito, infinito). Isso indica que as funções não são linearmente independentes, ou seja, elas são linearmente dependentes nesse intervalo.
Passo 7
Como as funções são dependentes, podemos expressar uma delas como uma combinação linear das outras. Vamos encontrar constantes a e b tais que:
Substituindo as funções:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para t:
Para os termos constantes:
Resposta
As funções são linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Além disso, podemos escrever como uma combinação linear de e :