São dados dois vetores:
a=(4,0 m) i-(3,0 m) j e b=(6,0 m) i+(8,0 m) j
Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a i ) de a. Determine © o módulo e (d) o ângulo de b . Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a+b; (g) o módulo e (h) o ângulo de b-a; (i) o módulo e (j)
o ângulo de a-b. (k) Determine o ângulo entre as direções de b-a e a-b.

Passo 1

Vamos resolver este exercício que envolve vetores! A gente tem dois vetores, e , com componentes nas direções e . O objetivo é encontrar o módulo (ou tamanho) e o ângulo de cada vetor, assim como as combinações deles ( , , etc.). Para isso, vamos precisar usar fórmulas de magnitude de vetor e trigonometria para calcular os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor |v| = raizvx^2 + vy^2 . O módulo de um vetor |a| = raiz4,0^2 + (-3,0)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5,0 , m é dado por:
Aplicando isso para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo cos(thetaa) = vx|a| que thetaa = arccos(4,05,0) = arccos(0,8) approx 36,87^circ forma com a direção . Usamos a fórmula do cosseno:
Então:

Passo 4

Vamos calcular o módulo do vetor |b| = raiz6,0^2 + 8,0^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10,0 , m . Usando a mesma fórmula:

Passo 5

Agora, o ângulo cos(thetab) = 6,010,0 = 0,6 que thetab = arccos(0,6) approx 53,13^circ forma com :

Passo 6

Vamos somar os vetores a + b = (4,0 + 6,0) i + (-3,0 + 8,0) j = 10,0 i + 5,0 j . Somamos as componentes correspondentes:
|a + b| = raiz10,0^2 + 5,0^2 = raiz100 + 25 = raiz125 approx 11,18 , m
Agora, calculamos o módulo:

Passo 7

O ângulo cos(thetaa+b) = 10,011,18 approx 0,895 de thetaa+b = arccos(0,895) approx 26,57^circ com é:

Passo 8

Agora, vamos calcular b - a = (6,0 - 4,0) i + (8,0 - (-3,0)) j = 2,0 i + 11,0 j :
|b - a| = raiz2,0^2 + 11,0^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11,18 , m
Módulo de :

Passo 9

O ângulo cos(thetab-a) = 2,011,18 approx 0,179 de thetab-a = arccos(0,179) approx 79,79^circ com é:

Passo 10

Vamos calcular a - b = (4,0 - 6,0) i + (-3,0 - 8,0) j = -2,0 i - 11,0 j :
|a - b| = raiz(-2,0)^2 + (-11,0)^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11,18 , m
Módulo de :

Passo 11

O ângulo cos(thetaa-b) = -2,011,18 approx -0,179 de thetaa-b = arccos(-0,179) approx 100,21^circ com é:

Passo 12

Finalmente, vamos determinar o ângulo entre as direções de 180^circ e . Observamos que é o oposto de , o que significa que eles estão em direções opostas. Portanto, o ângulo entre eles é:

Resposta

a) Módulo de :
b) Ângulo de em relação a :
c) Módulo de :
d) Ângulo de em relação a :
e) Módulo de :
f) Ângulo de em relação a :
g) Módulo de :
h) Ângulo de em relação a :
i) Módulo de :
j) Ângulo de em relação a :
k) Ângulo entre as direções de e :

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