São dados os pontos e . Escreva as equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos e . Os pontos e pertencem a esta reta?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . A tarefa é escrever as equações vetorial e paramétrica da reta que passa por e . Além disso, precisamos verificar se os pontos e estão nessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta, que é basicamente a direção em que a reta aponta. Para isso, subtraímos as coordenadas de e :
Então, o vetor diretor é .
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta passa por um ponto conhecido (vamos usar ) e é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos agora decompor a equação vetorial nas equações paramétricas da reta. Isso significa separar cada coordenada em relação ao parâmetro x = 3 - 8t :
y = 6 - 4t
z = -7 + 10t
Essas são as equações paramétricas da reta.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os pontos 4 = 3 - 8t Rightarrow t = -18 e -7 = 6 - 4t Rightarrow t = 134 pertencem a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de -6 = -7 + 10t Rightarrow t = 110 que satisfaz todas as três equações.
Para o ponto 3 = 3 - 8t Rightarrow t = 0 :
1 = 6 - 4t Rightarrow t = 54
4 = -7 + 10t Rightarrow t = 1110
Os valores de não são iguais, então não está na reta.
Para o ponto :
Novamente, os valores de não se igualam, então não está na reta.
Resposta
A equação vetorial da reta é 3 6 -7 e as equações paramétricas são: