São dados os pontos e . Escreva as equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos e . Os pontos e pertencem a esta reta?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . A tarefa é escrever as equações vetorial e paramétrica da reta que passa por e . Além disso, precisamos verificar se os pontos e estão nessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta, que é basicamente a direção em que a reta aponta. Para isso, subtraímos as coordenadas de e :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta passa por um ponto conhecido (vamos usar ) e é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos agora decompor a equação vetorial nas equações paramétricas da reta. Isso significa separar cada coordenada em relação ao parâmetro :
Essas são as equações paramétricas da reta.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os pontos e pertencem a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de que satisfaz todas as três equações.
Para o ponto :
Os valores de não são iguais, então não está na reta.
Para o ponto :
Novamente, os valores de não se igualam, então não está na reta.

Resposta

A equação vetorial da reta é e as equações paramétricas são:
Os pontos e não pertencem à reta.

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Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado representado pelo vetor , onde sua origem está no ponto .
Verifique se os pontos são colineares, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
e .
Verifique se os seguintes vetores são paralelos: e .
Determine o ponto tal que , onde e .