São dados os pontos A=(3,6,-7), B=(-5,2,3), C=(4,-7,-6) e D=(3,1,4). Escreva as equações vetoriais e paramétricas da reta determinada pelos pontos A e B. Os pontos C e D pertencem a esta reta?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . A tarefa é escrever as equações vetorial e paramétrica da reta que passa por e . Além disso, precisamos verificar se os pontos e estão nessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta, que é basicamente a direção em que a reta aponta. Para isso, subtraímos as coordenadas de AB = B - A = (-5 - 3, 2 - 6, 3 - (-7)) = (-8, -4, 10) e :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta passa por um ponto conhecido (vamos usar r = A + t cdot AB ) e é dada por:
r = 3 6 -7 + t cdot -8 -4 10
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos agora decompor a equação vetorial nas equações paramétricas da reta. Isso significa separar cada coordenada em relação ao parâmetro x = 3 - 8t :
y = 6 - 4t
z = -7 + 10t
Essas são as equações paramétricas da reta.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os pontos 4 = 3 - 8t Rightarrow t = -18 e -7 = 6 - 4t Rightarrow t = 134 pertencem a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de -6 = -7 + 10t Rightarrow t = 110 que satisfaz todas as três equações.
Para o ponto 3 = 3 - 8t Rightarrow t = 0 :
1 = 6 - 4t Rightarrow t = 54
4 = -7 + 10t Rightarrow t = 1110
Os valores de não são iguais, então não está na reta.
Para o ponto :
Novamente, os valores de não se igualam, então não está na reta.

Resposta

A equação vetorial da reta é 3 6 -7 e as equações paramétricas são:
-8 -4 10
x = 3 - 8t
y = 6 - 4t
Os pontos z = -7 + 10t e não pertencem à reta.

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