São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
.
k.)
,
k.)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve o conjunto
com operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas da seguinte forma:
- Soma Vetorial:
- Multiplicação Escalar:
O conteúdo da matéria aqui é Espaços Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender os axiomas de espaços vetoriais e verificar se as operações definidas satisfazem esses axiomas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as operações de soma vetorial e multiplicação escalar estão bem definidas para todos os elementos de
.
-
Soma Vetorial: Para dois vetores
e em , a soma definida é . Como a multiplicação de números reais resulta em outro número real, a soma está bem definida dentro de . -
Multiplicação Escalar: Para qualquer escalar
e vetor em , a multiplicação escalar é . Novamente, multiplicar números reais resulta em números reais, então a operação está bem definida.
Até aqui, ambas as operações estão bem definidas para todos os elementos de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se as operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Existem vários axiomas que precisamos checar, mas vamos focar nos mais críticos para identificar possíveis falhas.
Axioma da Soma Comutativa:
A soma vetorial deve ser comutativa, ou seja:
Aplicando a definição dada:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
e
), este axioma é satisfeito.
Axioma do Elemento Neutro:
Existe um vetor zero tal que, para qualquer vetor
:
Aplicando a soma definida:
Isso não retorna
, a menos que
e
sejam zero. Portanto, não existe um elemento neutro que funcione para todos os vetores em
.
Passo 4
Como já identificamos que o axioma do elemento neutro não é satisfeita, podemos concluir que
não é um espaço vetorial com as operações definidas.
Não precisamos verificar os demais axiomas, pois apenas uma falha já invalida a estrutura de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com a soma vetorial definida por
e multiplicação escalar
não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma do elemento neutro na soma vetorial.