São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em .
q.) com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em (aqui, $\left.\lambda_{1}, ···, \lambda_{n} \in \mathbb{R}\right) ;
Passo 1
Vamos analisar o conjunto com as operações de soma vetorial e multiplicação escalar padrão. Nosso objetivo é verificar se essas operações estão bem definidas para todos os elementos de e se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial real.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a soma de dois vetores em sumj=1^n lambdaj (uj + vj) = sumj=1^n lambdaj uj + sumj=1^n lambdaj vj = 0 + 0 = 0 também pertence a . Sejam e elementos de . Então:
Isso mostra que , ou seja, a soma está bem definida dentro de .
Passo 3
Agora, vamos verificar a multiplicação escalar. Seja sumj=1^n lambdaj (c cdot uj) = c cdot sumj=1^n lambdaj uj = c cdot 0 = 0 e . Então:
Portanto, , confirmando que a multiplicação escalar também está bem definida dentro de .
Passo 4
Com as operações de soma e multiplicação escalar bem definidas, precisamos verificar os axiomas de um espaço vetorial. Sabemos que é um espaço vetorial e que é um subespaço de porque é definido pela equação linear . Os subespaços herdam todos os axiomas do espaço vetorial maior, como associatividade, comutatividade da soma, existência do elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc.
Resposta
O conjunto com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar está bem definido para todos os seus elementos e satisfaz os axiomas de um espaço vetorial real.