São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V.
a.) V=R^3 ni x=(x, y, z),(x, y, z)+ (x^prime, y^prime, z^prime)=(x+x^prime, y+y^prime, z+z^prime), lambda(x, y, z)= (lambda x, y, z);

Passo 1

Vamos analisar o conjunto com as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas. Nosso objetivo é verificar se essas operações estão bem definidas para todos os elementos de e se elas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial real. Para isso, precisaremos entender os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a soma vetorial está bem definida. Isso significa que, ao somarmos dois vetores quaisquer de u + v = (x + x', y + y', z + z') , o resultado também deve pertencer a . Dado dois vetores e em , a soma é definida como:
Como a soma de dois números reais é outro número real, o vetor resultante também está em . Portanto, a operação de soma vetorial está bem definida.

Passo 3

Agora, vamos verificar a multiplicação escalar. A operação é definida por:
lambda (x, y, z) = (lambda x, y, z)
Para a multiplicação escalar estar bem definida, multiplicar qualquer escalar por um vetor em deve resultar em outro vetor que também pertence a . Como é um número real e e permanecem inalterados, o vetor está em . Assim, a multiplicação escalar também está bem definida.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se as operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Um dos axiomas fundamentais é a distribuição da multiplicação escalar sobre a soma vetorial, ou seja:
lambda (u + v) = lambda u + lambda v
Vamos testar esse axioma com vetores genéricos.

Passo 5

Considere lambda (u + v) = lambda (x + x', y + y', z + z') = (lambda (x + x'), y + y', z + z') e lambda u + lambda v = (lambda x, y, z) + (lambda x', y', z') = (lambda x + lambda x', y + y', z + z') . Calculando cada lado da equação:
(lambda (x + x'), y + y', z + z') = (lambda x + lambda x', y + y', z + z')
Por outro lado:
Comparando ambos os lados, vemos que:
Isso confirma que a distribuição da multiplicação escalar sobre a soma vetorial está satisfeita.

Passo 6

Vamos verificar outro axioma importante: a existência do elemento neutro da soma. O vetor nulo em u + 0 = (x + 0, y + 0, z + 0) = (x, y, z) = u é . Somando qualquer vetor com :
Portanto, o elemento neutro existe e está corretamente definido.

Passo 7

Agora, vamos examinar a existência de inversos aditivos. Para cada vetor u + -u = 0 , deve existir um vetor lambda u = (-x, -y, -z) tal que:
lambda x = -x, y = -y, z = -z
Com a multiplicação escalar definida como -1 cdot (x, y, z) = (-x, y, z) , para obter o inverso aditivo de , precisaríamos que:
Isso implicaria que:
A única solução para é . No entanto, ao aplicar :
O que não resulta em , a menos que . Isso mostra que os inversos aditivos não são corretamente definidos para todos os vetores em .

Resposta

O conjunto com as operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas não satisfaz os axiomas de um espaço vetorial real, pois a multiplicação escalar não afeta todas as componentes do vetor, fazendo com que os inversos aditivos não estejam corretamente definidos.

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