São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
.
j.)
,
j.)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. As operações estão definidas da seguinte forma:
- Soma vetorial:
- Multiplicação escalar:
Nosso objetivo é verificar se essas operações são bem definidas para todos os elementos de
e se elas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial e checar cada um deles com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a soma vetorial está bem definida. Isso significa que, ao somar dois vetores de
, o resultado também deve estar em
.
Tomemos dois vetores quaisquer de
:
e
.
Aplicando a soma vetorial:
Como
são números reais, as componentes
e
também serão números reais. Portanto, o vetor resultante
está em
, garantindo que a soma esteja bem definida.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a multiplicação escalar está bem definida. Isso significa que, ao multiplicar um vetor de
por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Tomemos um vetor qualquer de
:
e um escalar
.
Aplicando a multiplicação escalar:
Como
são números reais, as componentes
e
também serão números reais. Portanto, o vetor resultante
está em
, garantindo que a multiplicação escalar esteja bem definida.
Passo 4
Agora que vimos que as operações estão bem definidas, vamos verificar se elas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Existem 8 axiomas, mas vamos começar pelo mais simples para ver se o conjunto já pode falhar em ser um espaço vetorial.
Axioma 1: Comutatividade da Adição
Vamos testar com vetores genéricos:
Para que
, precisaríamos que:
Isso só é verdade se
, mas isso nem sempre acontece para todos os vetores em
. Portanto, a adição não é comutativa com as operações dadas.
Passo 5
Como a adição não é comutativa, ela já viola o primeiro axioma de um espaço vetorial. Isso significa que
não é um espaço vetorial com as operações fornecidas. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois um único axioma não satisfeito é suficiente para concluir que não é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas de soma vetorial e multiplicação escalar não é um espaço vetorial, pois a adição não é comutativa, violando os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.