São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V.
o.)
V=[cca & a+b a+b & b] in M2 times 2(R) rvert, a, b in R
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em M2 times 2(R) (ver Exercício 3 acima);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um conjunto de matrizes que têm uma forma específica e verificar se, usando as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, esse conjunto forma um espaço vetorial sobre os números reais. Para isso, precisaremos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são as matrizes em a & a+b a+b & b . Cada matriz em é da forma:
onde e são números reais. Isso significa que qualquer matriz em é totalmente determinada pelos valores de e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a soma de duas matrizes em A = a & a+b a+b & b , B = c & c+d c+d & d também está em A + B = a + c & (a+b) + (c+d) (a+b) + (c+d) & b + d = a + c & a + b + c + d a + b + c + d & b + d . Seja:
A + B = a' & a' + b' a' + b' & b'
A soma é:
Vamos chamar e . Então:
Como e são reais, a soma de duas matrizes em também está em . Então, a soma vetorial está bem definida.

Passo 4

Agora, vamos ver a multiplicação por um escalar. Seja kA = ka & k(a+b) k(a+b) & kb = ka & ka + kb ka + kb & kb e kA = a' & a' + b' a' + b' & b' como antes. A multiplicação por é:
Chamando e , temos:
Como e são reais, a multiplicação por escalar também está bem definida dentro de .

Passo 5

Com as operações de soma e multiplicação por escalar bem definidas, precisamos verificar se os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos. Vamos ver alguns deles:
  1. Associatividade da soma: Já que a soma de matrizes é associativa no conjunto de todas as matrizes, também é em 0 & 0 0 & 0 .
  2. Elemento neutro da soma: A matriz zero é:
-A = -a & -a - b -a - b & -b
Que está em quando e .
  1. Existência de inversos aditivos: Para cada em , existe também em , pois:
que está na mesma forma de com e .
  1. Distributividade da multiplicação pelo escalar em relação à soma vetorial: Já que isso também é válido para matrizes, vale para .
E por aí vai para os demais axiomas. Todos eles são satisfeitos porque estamos trabalhando dentro do conjunto das matrizes, que já forma um espaço vetorial, e é um subconjunto que respeita a estrutura de .

Resposta

O conjunto com as operações de soma vetorial e multiplicação escalar está bem definido e satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre os reais. Portanto, é um espaço vetorial.

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