São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
.
g.)
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em
;
g.)
Passo 1
Então, temos que analisar o conjunto
com as operações normais de soma vetorial e multiplicação escalar em
. O conteúdo aqui é do livro de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Precisamos verificar se essas operações estão bem definidas em
e se todas as propriedades (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a soma de dois vetores em
resulta em outro vetor também em
. Seja
e
em
. A soma desses vetores é:
Note que cada componente da soma é
, que ainda é um número real. Portanto,
pertence a
, garantindo que a soma está bem definida em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a multiplicação escalar. Seja
em
e
um escalar real. A multiplicação escalar é:
Cada componente do vetor resultante é
, que é um número real. Portanto,
também pertence a
, assegurando que a multiplicação escalar está bem definida em
.
Passo 4
Como as operações de soma vetorial e multiplicação escalar estão bem definidas em
, precisamos agora verificar os axiomas de um espaço vetorial.
é um subconjunto de
e herda todas as propriedades de
. Além disso,
satisfaz todos os axiomas, como existência do elemento nulo, existência de inversos aditivos, distributividade, associatividade, etc.
Resposta
O conjunto
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em
tem as operações bem definidas para todos os seus elementos e satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial real. Portanto,
é um espaço vetorial.