São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V.
l.) V=R^2,(x, y)+(x^prime, y^prime)=(3 x+3 x^prime, 5 y+5 y^prime), lambda(x, y)=(lambda x, lambda y) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre um conjunto com operações de soma vetorial e multiplicação escalar definidas de um jeito específico:
  • Soma vetorial:
  • Multiplicação escalar:
Nosso objetivo é descobrir se essas operações estão bem definidas para qualquer par de vetores em e se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são cumpridas. Se alguma coisa não estiver certo, vamos mostrar onde deu errado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as operações de soma e multiplicação estão bem definidas. Isso quer dizer que, para qualquer par de vetores em e qualquer número real , as operações resultam em outro vetor que ainda está em .
  • Soma: Se você pega dois vetores em e aplica a soma definida, o resultado será outro par de números reais, então está tudo certo aqui.
  • Multiplicação escalar: Multiplicar qualquer vetor de por um número real também resulta em outro par de números reais. Então, essa operação também está bem definida.

Passo 3

Agora, vamos checar os axiomas de um espaço vetorial um por um para ver se são todos satisfeitos.
  1. Associatividade da soma:
    (u + v) + w = u + (v + w)
    Vamos testar com vetores (u + v) + w = (3x1 + 3x2, 5y1 + 5y2) + (x3, y3) = (3(3x1 + 3x2) + 3x3, 5(5y1 + 5y2) + 5y3) , u + (v + w) = (x1, y1) + (3x2 + 3x3, 5y2 + 5y3) = (3x1 + 3(3x2 + 3x3), 5y1 + 5(5y2 + 5y3)) , e (x, y) + (a, b) = (3x + 3a, 5y + 5b) = (x, y) :
    3x + 3a = x Rightarrow 3a = -2x para todo x
    5y + 5b = y Rightarrow 5b = -4y para todo y
    Claramente, essas duas expressões não são iguais a menos que os coeficientes fossem iguais, o que não é o caso. Então, a associatividade não é satisfeita.
  2. Elemento neutro da soma:
    Existe um vetor tal que para todo ?
    Isso implica que:
    Isso só é possível se e ainda assim, não iguala a para qualquer . Portanto, não existe elemento neutro.
Como já encontramos que a associatividade e a existência do elemento neutro falham, não precisamos verificar os outros axiomas.

Resposta

O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial. Isso ocorre porque a soma vetorial não satisfaz a associatividade e não existe um elemento neutro que funcione para todos os vetores em .

Exercícios relacionados