São listados nos itens abaixo conjuntos V munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de V ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em V.
p.) V=x in R mid x>0, x+y=x y, lambda x=x^lambda=exp (lambda log x) ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que são todos os números reais positivos. As operações definidas nesse conjunto são:
  • Soma Vetorial: (multiplicação comum)
  • Multiplicação Escalar:
O conteúdo principal aqui é Espaços Vetoriais, e para resolvermos isso, precisamos verificar se essas operações satisfazem todos os axiomas de um espaço vetorial. Vamos precisar entender cada axioma e ver se eles são verdadeiros para esse conjunto e essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais precisa satisfazer oito axiomas, que envolvem propriedades da soma e da multiplicação escalar, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, inversos, entre outros.
Agora, vamos verificar se as operações definidas no conjunto atendem a esses axiomas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da soma vetorial
Precisamos verificar se, para quaisquer , a soma está também em . Como e são positivos, também é positivo. Então, a soma vetorial está bem definida.
Axioma 2: Fechamento da multiplicação escalar
Para qualquer e , . Precisamos que . Como , qualquer potência real de também será positiva. Então, a multiplicação escalar também está bem definida.

Passo 4

Axioma 3: Comutatividade da soma vetorial
Verificamos se (x + y) + z = (x cdot y) cdot z = x cdot y cdot z . Como x + (y + z) = x cdot (y cdot z) = x cdot y cdot z e , e a multiplicação real é comutativa, temos . Portanto, a soma vetorial é comutativa.
Axioma 4: Associatividade da soma vetorial
Precisamos checar se . Calculando:
Ambos resultam em , então a soma vetorial é associativa.

Passo 5

Axioma 5: Existência do elemento neutro da soma
Precisamos de um elemento x + 0V = x cdot 0V = x tal que para todo . No nosso caso:
Isso implica que , já que . Portanto, o elemento neutro existe e é .

Passo 6

Axioma 6: Existência do inverso aditivo
Precisamos de um elemento x cdot y = 1 tal que . Ou seja:
Resolvendo para , temos . Como , , então o inverso aditivo existe.

Passo 7

Axioma 7: Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial
Devemos verificar se lambda (x + y) = lambda (x cdot y) = (x cdot y)^lambda .
Calculando cada lado:
lambda x + lambda y = x^lambda cdot y^lambda = (x cdot y)^lambda
Ambos os lados são iguais, então este axioma é satisfeito.

Passo 8

Axioma 8: Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma dos escalares
Precisamos checar se (lambda + mu) x = x^lambda + mu = x^lambda cdot x^mu .
Calculando cada lado:
lambda x + mu x = x^lambda cdot x^mu
Novamente, ambos os lados são iguais, então este axioma também é satisfeito.

Passo 9

Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares
Devemos verificar se lambda (mu x) = lambda (x^mu) = (x^mu)^lambda = x^lambda mu .
Calculando cada lado:
(lambda mu) x = x^lambda mu
1 x = x^1 = x
Ambos são iguais, então este axioma é válido.
Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação escalar
Precisamos que .
Isso confirma que o elemento neutro da multiplicação escalar existe.

Resposta

Todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos para o conjunto com as operações definidas. Portanto, é um espaço vetorial real.

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