Sejam os vetores
e
em
. Encontre números reais não nulos
satisfazendo
.
Esboço: trate
e
como variáveis. Obtemos daí que
e
.
Uma solução possível dessas equações é dada por
. Tomando-se
,
, verifica-se a fórmula desejada.
Esboço: trate
Uma solução possível dessas equações é dada por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no plano:
,
e
. O objetivo é encontrar números reais diferentes de zero, chamados
, que sejam distintos entre si (ou seja,
,
,
) e que satisfaçam a equação
.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, especificamente resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Vamos chamar
,
e
para simplificar a notação. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, substituímos os valores dos vetores
,
e
na equação:
Isso resulta nas seguintes equações para cada componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Podemos resolver esse sistema subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Então, temos que
e
.
Passo 5
Agora, escolhemos um valor para
que não seja zero (já que os números devem ser não nulos). Vamos escolher
. Então:
Agora, lembrando que:
Podemos escolher valores para
que satisfaçam essas equações. Uma escolha simples é:
Resposta
Uma solução que satisfaz as condições é: