Sejam os vetores x=(1,1), y=(1,2) e z=(2,1) em R^2. Encontre números reais não nulos a, b, c, a^prime, b^prime, c^prime satisfazendo a neq a^prime, b neq b^prime, c neq c^prime e a x+b y+c z=a^prime x+b^prime y+c^prime z.
Esboço: trate a-a^prime=alpha, b-b^prime=beta e c-c^prime=gamma como variáveis. Obtemos daí que alpha=-3 beta e beta=gamma.
Uma solução possível dessas equações é dada por alpha=3, beta=gamma=-1. Tomando-se a=4, a^prime=1, b=1, b^prime=2, c=1, c^prime=2, verifica-se a fórmula desejada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no plano: x = (1,1), y = (1,2) e z = (2,1). O objetivo é encontrar números reais diferentes de zero, chamados a, b, c, a', b', c', que sejam distintos entre si (ou seja, a neq a', b neq b', c neq c') e que satisfaçam a equação a x + b y + c z = a' x + b' y + c' z.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, especificamente resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. Subtraindo a' x + b' y + c' z de ambos os lados, temos:
a x + b y + c z - a' x - b' y - c' z = 0
Isso pode ser reescrito como:
(a - a') x + (b - b') y + (c - c') z = 0
Vamos chamar a - a' = alpha, b - b' = beta e c - c' = gamma para simplificar a notação. Assim, a equação fica:
alpha x + beta y + gamma z = 0

Passo 3

Agora, substituímos os valores dos vetores x, y e z na equação:
alpha (1,1) + beta (1,2) + gamma (2,1) = (0,0)
Isso resulta nas seguintes equações para cada componente:
  1. Para a primeira componente:
alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot 2 = 0 Rightarrow alpha + beta + 2gamma = 0
  1. Para a segunda componente:
alpha cdot 1 + beta cdot 2 + gamma cdot 1 = 0 Rightarrow alpha + 2beta + gamma = 0

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
alpha + beta + 2gamma = 0 alpha + 2beta + gamma = 0
Podemos resolver esse sistema subtraindo a segunda equação da primeira:
(alpha + beta + 2gamma) - (alpha + 2beta + gamma) = 0 - 0 Rightarrow -beta + gamma = 0 Rightarrow gamma = beta
Substituindo gamma = beta na primeira equação:
alpha + beta + 2beta = 0 Rightarrow alpha + 3beta = 0 Rightarrow alpha = -3beta
Então, temos que alpha = -3beta e gamma = beta.

Passo 5

Agora, escolhemos um valor para beta que não seja zero (já que os números devem ser não nulos). Vamos escolher beta = -1. Então:
alpha = -3(-1) = 3 gamma = -1
Agora, lembrando que:
alpha = a - a' = 3 beta = b - b' = -1 gamma = c - c' = -1
Podemos escolher valores para a, a', b, b', c, c' que satisfaçam essas equações. Uma escolha simples é:
a = 4, a' = 1 b = 1, b' = 2 c = 1, c' = 2

Resposta

Uma solução que satisfaz as condições é:
a = 4, a' = 1 b = 1, b' = 2 c = 1, c' = 2

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