Quais são os 3 métodos gerais que podem ser empregados para obtenção da solução de uma equação diferencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você perguntou sobre os 3 métodos gerais que a gente pode usar para resolver uma equação diferencial. Basicamente, equações diferenciais lidam com funções e suas derivadas, e resolver essas equações significa encontrar a função que satisfaz a relação dada. Para resolver, vamos precisar entender três métodos principais: separação de variáveis, equações lineares e equações exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o método de separação de variáveis. Esse método é usado quando a equação diferencial pode ser rearranjada de forma que todas as vezes e todas as variáveis que dependem de tempo fiquem de um lado da equação, e as demais fiquem do outro lado. Matematicamente, se tivermos uma equação na forma:
Podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :
Aí, fazemos a integração de ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 3

O segundo método é o das equações lineares. Uma equação diferencial linear tem a forma geral:
Para resolver, usamos um fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para torná-la exata. O fator integrante é dado por:
Depois de multiplicar a equação pelo fator integrante, ela se transforma em uma equação que é fácil de integrar, levando à solução da função .

Passo 4

O terceiro método é o das equações exatas. Uma equação diferencial é exata se puder ser escrita na forma:
e satisfaz a condição:
Se a equação não for exata inicialmente, às vezes conseguimos encontrar um fator integrante que a torne exata. Uma vez que a equação seja exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
onde é uma constante, e essa é a solução da equação diferencial.

Resposta

Os 3 métodos gerais para resolver uma equação diferencial são:
  1. Método de separação de variáveis
  2. Método das equações lineares
  3. Método das equações exatas

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Como verifico se uma dada função é realmente solução de uma equação diferencial?