Como verifico se uma dada função é realmente solução de uma equação diferencial?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber como verificar se uma função dada é realmente uma solução de uma equação diferencial. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e de como manipular funções e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial e como substituir a função nela para verificar se ela satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Por exemplo, a equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, é a função desconhecida e é sua derivada em relação a .

Passo 3

Para verificar se uma função é solução dessa equação, seguimos os seguintes passos:
  1. Calcular a derivada da função .
  2. Substituir e na equação diferencial.
  3. Verificar se a igualdade é verdadeira para todos os do domínio considerado.

Passo 4

Vamos supor que a função dada seja . Primeiro, calculamos sua derivada:

Passo 5

Agora, substituímos e na equação diferencial:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Como a igualdade é verdadeira, isso confirma que a função é uma solução da equação diferencial.

Resposta

Seguindo esses passos, verificamos que satisfaz a equação diferencial , portanto, essa função é realmente uma solução da equação.

Exercícios relacionados

Seja um conjunto. Prove que .
Quais são os 3 métodos gerais que podem ser empregados para obtenção da solução de uma equação diferencial?
Seja . Escreva o conjunto como lista.
Resolva .