Como verifico se uma dada função é realmente solução de uma equação diferencial?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber como verificar se uma função dada é realmente uma solução de uma equação diferencial. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e de como manipular funções e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial e como substituir a função nela para verificar se ela satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Por exemplo, a equação diferencial de primeira ordem:
Aqui,
é a função desconhecida e
é sua derivada em relação a
.
Passo 3
Para verificar se uma função
é solução dessa equação, seguimos os seguintes passos:
- Calcular a derivada da função
. - Substituir
e na equação diferencial. - Verificar se a igualdade é verdadeira para todos os
do domínio considerado.
Passo 4
Vamos supor que a função dada seja
. Primeiro, calculamos sua derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Como a igualdade é verdadeira, isso confirma que a função
é uma solução da equação diferencial.
Resposta
Seguindo esses passos, verificamos que
satisfaz a equação diferencial
, portanto, essa função é realmente uma solução da equação.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto. Prove que
.
Quais são os 3 métodos gerais que podem ser empregados para obtenção da solução de uma equação diferencial?
Seja
. Escreva o conjunto
como lista.
Resolva
.