Seja X um conjunto. Prove que X ∩ ∅ = ∅.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto qualquer X e queremos provar que a interseção de X com o conjunto vazio resulta no próprio conjunto vazio. Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especificamente a definição de interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção A ∩ B de dois conjuntos A e B consiste em todos os elementos que estão simultaneamente em A e em B. Formalmente:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso caso específico onde B é o conjunto vazio . O conjunto vazio não tem nenhum elemento, ou seja:
Então, ao tentarmos encontrar a interseção , estamos procurando elementos que estão em X e, ao mesmo tempo, em .

Passo 4

Considerando que não existem elementos em , não há como existir um elemento que esteja em ambos os conjuntos X e . Portanto, não existem elementos em .

Passo 5

Como não há elementos na interseção, concluímos que é o conjunto vazio.

Resposta

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