O que são pontos de inflexão? Como são encontrados?
Passo 1
Vamos responder à pergunta: “O que são pontos de inflexão? Como são encontrados?”. Estamos falando sobre Cálculo Diferencial, especificamente sobre o comportamento das curvas. Para entender e encontrar pontos de inflexão, vamos precisar trabalhar com derivadas da função que descreve a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos de inflexão. Um ponto de inflexão em uma curva é um ponto onde a curvatura muda de concava para côncava ou vice-versa. Em outras palavras, é onde a curva “vira” de uma direção para outra.
Passo 3
Para identificar pontos de inflexão, precisamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da curva:
- Se a segunda derivada
for positiva em um intervalo, a curva é côncava para cima (parece um “sorriso”). - Se a segunda derivada
for negativa em um intervalo, a curva é côncava para baixo (parece uma “carinha triste”).
Passo 4
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para encontrar esses pontos, seguimos os seguintes passos:
- Calcular a segunda derivada da função
. - Encontrar os valores de
onde ou onde não está definida. - Analisar a concavidade nos intervalos ao redor desses valores de
para confirmar se realmente ocorre uma mudança na concavidade.
Passo 5
Vamos detalhar cada um desses passos:
-
Calcular a segunda derivada: Se você tem uma função
, primeiro calcule (a primeira derivada) e depois . -
Encontrar onde
ou não está definida: Resolva a equação para encontrar possíveis candidatos a pontos de inflexão. Também verifique onde pode não existir. -
Analisar a concavidade: Escolha pontos em intervalos imediatamente à esquerda e à direita de cada candidato encontrado. Calcule o sinal de
nesses pontos: - Se o sinal de
muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo, então é um ponto de inflexão. - Se não houver mudança de sinal, então não é um ponto de inflexão, mesmo que
.
- Se o sinal de
Passo 6
Exemplo Prático (Opcional): Vamos supor que temos a função
.
- Calculamos a primeira derivada:
. - Calculamos a segunda derivada:
. - Resolvemos
: . - Analisamos a concavidade:
- Para
, digamos : (negativo, concava para baixo). - Para
, digamos : (positivo, concava para cima). - Houve mudança de concavidade, então
é um ponto de inflexão.
- Para
Resposta
Pontos de inflexão são pontos em uma curva onde a concavidade muda de côncava para côncava ou vice-versa. Eles são encontrados calculando a segunda derivada da função, resolvendo
ou identificando onde
não está definida, e verificando se ocorre uma mudança de sinal na segunda derivada nesses pontos.
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é contínua no intervalo
, e
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. Mostre que
.
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