Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
(d) (ccccc2 & -1 & 0 & 1 & 4 1 & -2 & 1 & 4 & -3 5 & -4 & 1 & 6 & 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa transformá-la usando operações elementares de linhas. O objetivo é deixá-la em duas formas diferentes: a forma escalonada por linhas e a forma escalonada reduzida por linhas. Para isso, vamos precisar trocar linhas, multiplicar linhas por números e somar múltiplos de uma linha a outra. Vamos trabalhar com Álgebra Linear para resolver isso.
A matriz que a gente vai trabalhar é:
2 & -1 & 0 & 1 & 4 1 & -2 & 1 & 4 & -3 5 & -4 & 1 & 6 & 5

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro pivô, que é o elemento da primeira linha e primeira coluna (número 2). A gente quer que esse pivô seja 1 para facilitar as coisas. Então, vamos dividir toda a primeira linha por 2.
R1 = 12 R1
A matriz fica:
1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 2 1 & -2 & 1 & 4 & -3 5 & -4 & 1 & 6 & 5

Passo 3

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos:
  • Subtrair a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R1
  • Subtrair 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 5R1
A matriz fica:
1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 2 0 & -1.5 & 1 & 3.5 & -5 0 & -1.5 & 1 & 3.5 & -5

Passo 4

Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais. Então, podemos eliminar a terceira linha, ou seja, subtrair a segunda linha da terceira linha para deixar um zero completo:
R3 = R3 - R2
A matriz fica:
1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 2 0 & -1.5 & 1 & 3.5 & -5 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (-1.5). Vamos transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por -1.5:
R2 = 1-1.5 R2
Simplificando, temos:
R2 = -23 R2
A matriz fica:
1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 2 0 & 1 & -23 & -73 & 103 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos acima do segundo pivô. Ou seja, vamos eliminar o -0.5 que está na primeira linha e segunda coluna. Para isso, vamos somar 0.5 vezes a segunda linha à primeira linha:
R1 = R1 + 0.5R2
A matriz fica:
1 & 0 & -13 & -1 & 73 0 & 1 & -23 & -73 & 103 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Chegamos à forma escalonada por linhas, onde todos os pivôs estão em posição triangular e abaixo de cada pivô há zeros.
Agora, para deixar a matriz na forma escalonada reduzida por linhas, temos que garantir que cada pivô seja o único 1 na sua coluna e que todos os elementos acima dele também sejam zeros.

Passo 8

Vamos identificar que na terceira coluna não há pivô, então não precisamos alterar nada além do que já fizemos. A matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

A matriz reduzida às formas solicitadas fica assim:
Forma Escalonada por Linhas:
1 & 0 & -13 & -1 & 73 0 & 1 & -23 & -73 & 103 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Forma Escalonada Reduzida por Linhas:
1 & 0 & -13 & -1 & 73 0 & 1 & -23 & -73 & 103 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Exercícios relacionados

Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
(b) (cccc0 & -1 & 2 & 3 2 & 6 & 4 & 4 2 & 5 & 6 & 7 0 & -2 & 4 & 6)
Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(e) |lll1 & 2 & 3 0 & 4 & 1 1 & 6 & 4|
Quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de matrizes 2 x2? E de matrizes 3x3?
Encontre o determinante, usando o método de copiar as duas primeiras colunas à direita da matriz dada.
© |ccc0 & 3 & 0 2 & 0 & 0 0 & 0 & -4|