Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma matriz:
E queremos transformá-la em duas formas diferentes usando operações elementares de linha:
- Forma Escalonada por Linhas
- Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Para fazer isso, vamos precisar entender e aplicar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por uma constante e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Vamos começar transformando a matriz para a forma escalonada por linhas. O objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs (elemento principal de cada linha).
Observamos que a primeira coluna tem um zero na primeira posição, o que não é ideal. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para trazer um número diferente de zero para a posição (1,1).
Operação: Trocar L1 ↔ L2
Passo 3
Agora, queremos criar zeros abaixo do primeiro pivô (2 na posição (1,1)). Para isso, vamos eliminar o 2 da terceira linha (L3).
Operação: L3 = L3 - L1
Passo 4
O próximo passo é simplificar a segunda linha para ter um pivô de 1. Atualmente, o pivô é -1 na posição (2,2).
Operação: L2 = -1 × L2
Passo 5
Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna. Primeiro, eliminamos o -1 na terceira linha (L3).
Operação: L3 = L3 + L2
Passo 6
Agora, eliminamos o -2 na quarta linha (L4).
Operação: L4 = L4 + 2 × L2
Passo 7
A matriz já está na forma escalonada por linhas. Os pivôs estão na posição (1,1) e (2,2), e abaixo deles temos zeros.
Passo 8
Agora, vamos transformar a matriz escalonada por linhas na forma escalonada reduzida por linhas. O objetivo aqui é ter zeros acima e abaixo de cada pivô e que cada pivô seja 1.
Primeiro, vamos garantir que o pivô (1,1) seja 1 dividindo a primeira linha por 2.
Operação: L1 = (1/2) × L1
Passo 9
Em seguida, eliminamos o 3 na posição (1,2) para ter zero acima do pivô na segunda coluna.
Operação: L1 = L1 - 3 × L2
Resposta
A matriz reduzida está na forma escalonada por linhas:
E na forma escalonada reduzida por linhas: