Sejam
. Mostre que
(a) Se
e
, então
.
(b) Se
e
então
© Se
a
então
.
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é,
e
não implica que
. (Encontre um exemplo),
(e) Se
são tais que
e
, então
.
(f)
então
para todo natural
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é,
(e) Se
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre divisores inteiros e como eles se comportam quando multiplicamos ou combinamos números. Vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como isso se aplica em diferentes situações. Vamos resolver cada letra passo a passo!
Passo 2
(a) Se
e
, então
.
Primeiro, lembre-se que
significa que “a divide b”, ou seja, existe um número inteiro
tal que
.
- Sabemos que
, então . - Também sabemos que
, então .
Agora, multiplicamos 2 e 3:
Mas queremos mostrar que
, ou seja, que 6 é múltiplo de
:
Isso mostra que 6 é múltiplo de
, então
.
Passo 3
(b) Se
e
então
-
significa que existe um inteiro tal que . -
significa que existe um inteiro tal que .
Multiplicando
por
:
Isso resulta em:
Portanto,
é múltiplo de
, ou seja,
.
Passo 4
© Se
e
então
-
significa que existe um inteiro tal que . -
significa que existe um inteiro tal que .
Multiplicando
por
:
Isso mostra que
é múltiplo de
, então
.
Passo 5
(d) A afirmação análoga não é válida, isto é,
e
não implica que
. Vamos encontrar um exemplo.
Vamos escolher números simples:
- Seja
, , e .
Vemos que:
-
porque . -
porque .
Mas
, e
nesse caso particular funciona. Para mostrar que nem sempre funciona, precisamos de outro exemplo.
Vamos tentar:
-
, , e .
Aqui:
-
porque . -
porque .
Mas
, e
porque não existe inteiro
tal que
.
Então, esse exemplo mostra que a afirmação não é válida.
Passo 6
(e) Se
são tais que
e
, então
.
-
significa que . -
significa que .
Multiplicando
e
:
Isso mostra que
é múltiplo de
, então
.
Passo 7
(f) Se
então
para todo natural
.
-
significa que .
Elevando ambos os lados à potência
:
Isso mostra que
é múltiplo de
, então
para todo
natural.
Resposta
Resolvemos todos os itens de (a) a (f) mostrando como os divisores interagem em diferentes situações. Cada afirmação foi comprovada usando as propriedades de divisibilidade e exemplos quando necessário.
Exercícios relacionados
Sejam
Verifique as propriedades a seguir:
(a) Se e
, então
.
(b) Se e
, então
(a) Se
(b) Se
Verifique que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma
ou
.
Quais são os possíveis restos deixados por um quadrado perfeito na divisão por 4?
Na divisão de
por
o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Sabendo que
e
são inteiros cuja soma é 116, determine os valores de
e
.