Sejam a, b, c pertencem a Z. Mostre que
(a) Se a | 2 e a | 3, então a | 6.
(b) Se a | -9 e b | 8 então a b | -72
© Se a | b a a | c então a | b c.
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é, a | c e b | c não implica que a b | c. (Encontre um exemplo),
(e) Se m, n pertencem a Z são tais que a | m e b | n, então a b | m n.
(f) a | b então a^n | b^n para todo natural n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre divisores inteiros e como eles se comportam quando multiplicamos ou combinamos números. Vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como isso se aplica em diferentes situações. Vamos resolver cada letra passo a passo!

Passo 2

(a) Se e , então .

Primeiro, lembre-se que significa que “a divide b”, ou seja, existe um número inteiro tal que .
  • Sabemos que , então .
  • Também sabemos que , então .
Agora, multiplicamos 2 e 3:
Mas queremos mostrar que , ou seja, que 6 é múltiplo de :
Isso mostra que 6 é múltiplo de , então .

Passo 3

(b) Se e então

  • significa que existe um inteiro tal que .
  • significa que existe um inteiro tal que .
Multiplicando por :
Isso resulta em:
Portanto, é múltiplo de , ou seja, .

Passo 4

© Se e então

  • significa que existe um inteiro tal que .
  • significa que existe um inteiro tal que .
Multiplicando por :
Isso mostra que é múltiplo de , então .

Passo 5

(d) A afirmação análoga não é válida, isto é, e não implica que . Vamos encontrar um exemplo.

Vamos escolher números simples:
  • Seja , , e .
Vemos que:
  • porque .
  • porque .
Mas , e nesse caso particular funciona. Para mostrar que nem sempre funciona, precisamos de outro exemplo.
Vamos tentar:
  • , , e .
Aqui:
  • porque .
  • porque .
Mas , e porque não existe inteiro tal que .
Então, esse exemplo mostra que a afirmação não é válida.

Passo 6

(e) Se são tais que e , então .

  • significa que .
  • significa que .
Multiplicando e :
Isso mostra que é múltiplo de , então .

Passo 7

(f) Se então para todo natural .

  • significa que .
Elevando ambos os lados à potência :
Isso mostra que é múltiplo de , então para todo natural.

Resposta

Resolvemos todos os itens de (a) a (f) mostrando como os divisores interagem em diferentes situações. Cada afirmação foi comprovada usando as propriedades de divisibilidade e exemplos quando necessário.

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