Sejam . Mostre que
(a) Se e , então .
(b) Se e então
© Se a então .
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é, e não implica que . (Encontre um exemplo),
(e) Se são tais que e , então .
(f) então para todo natural .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre divisores inteiros e como eles se comportam quando multiplicamos ou combinamos números. Vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como isso se aplica em diferentes situações. Vamos resolver cada letra passo a passo!

Passo 2

(a) Se e , então .

Primeiro, lembre-se que significa que “a divide b”, ou seja, existe um número inteiro tal que .
  • Sabemos que , então .
  • Também sabemos que , então .
Agora, multiplicamos 2 e 3:
Mas queremos mostrar que , ou seja, que 6 é múltiplo de :
Isso mostra que 6 é múltiplo de , então .

Passo 3

(b) Se e então

  • significa que existe um inteiro tal que .
  • significa que existe um inteiro tal que .
Multiplicando por :
Isso resulta em:
Portanto, é múltiplo de , ou seja, .

Passo 4

© Se e então

  • significa que existe um inteiro tal que .
  • significa que existe um inteiro tal que .
Multiplicando por :
Isso mostra que é múltiplo de , então .

Passo 5

(d) A afirmação análoga não é válida, isto é, e não implica que . Vamos encontrar um exemplo.

Vamos escolher números simples:
  • Seja , , e .
Vemos que:
  • porque .
  • porque .
Mas , e nesse caso particular funciona. Para mostrar que nem sempre funciona, precisamos de outro exemplo.
Vamos tentar:
  • , , e .
Aqui:
  • porque .
  • porque .
Mas , e porque não existe inteiro tal que .
Então, esse exemplo mostra que a afirmação não é válida.

Passo 6

(e) Se são tais que e , então .

  • significa que .
  • significa que .
Multiplicando e :
Isso mostra que é múltiplo de , então .

Passo 7

(f) Se então para todo natural .

  • significa que .
Elevando ambos os lados à potência :
Isso mostra que é múltiplo de , então para todo natural.

Resposta

Resolvemos todos os itens de (a) a (f) mostrando como os divisores interagem em diferentes situações. Cada afirmação foi comprovada usando as propriedades de divisibilidade e exemplos quando necessário.

Exercícios relacionados

Sejam Verifique as propriedades a seguir:
(a) Se e , então .
(b) Se e , então
Verifique que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma ou .
Quais são os possíveis restos deixados por um quadrado perfeito na divisão por 4?
Na divisão de por o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Sabendo que e são inteiros cuja soma é 116, determine os valores de e .