Sejam
Verifique as propriedades a seguir:
(a) Se
e
, então
.
(b) Se
e
, então
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, temos um exercício que fala sobre divisibilidade de números inteiros. Precisamos verificar duas propriedades envolvendo divisores. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de divisibilidade e propriedades de números inteiros.
Passo 2
Vamos começar com a primeira propriedade:
(a) Se divide
e
, então
divide
.
(a) Se
Divisão de inteiros significa que existe um número inteiro que multiplica o divisor para dar o dividendo. Então, se
divide
, existe um inteiro
tal que:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por
(como
):
Isso mostra que existe um inteiro
tal que
, o que significa que
divide
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda propriedade:
(b) Se divide
e
divide
, então
divide
.
(b) Se
Sabemos que:
- Se
divide , então existe um inteiro tal que . - Se
divide , então existe um inteiro tal que .
Multiplicando essas duas equações:
Isso mostra que
é igual a
vezes
, ou seja,
divide
.
Resposta
As duas propriedades são verdadeiras:
- (a) Se
divide e , então divide . - (b) Se
divide e divide , então divide .
Exercícios relacionados
Verifique que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma
ou
.
Na divisão de 477 um inteiro positivo
o resto é 12. Determine os possíveis valores para o divisor
e o quociente
.
Sejam
. Mostre que
(a) Se e
, então
.
(b) Se e
então
© Se a
então
.
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é, e
não implica que
. (Encontre um exemplo),
(e) Se são tais que
e
, então
.
(f) então
para todo natural
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é,
(e) Se
(f)
Quais são os possíveis restos deixados por um quadrado perfeito na divisão por 4?