Sejam Verifique as propriedades a seguir:
(a) Se e , então .
(b) Se e , então

Passo 1

Beleza, temos um exercício que fala sobre divisibilidade de números inteiros. Precisamos verificar duas propriedades envolvendo divisores. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de divisibilidade e propriedades de números inteiros.

Passo 2

Vamos começar com a primeira propriedade:
(a) Se divide e , então divide .
Divisão de inteiros significa que existe um número inteiro que multiplica o divisor para dar o dividendo. Então, se divide , existe um inteiro tal que:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por (como ):
Isso mostra que existe um inteiro tal que , o que significa que divide .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda propriedade:
(b) Se divide e divide , então divide .
Sabemos que:
  • Se divide , então existe um inteiro tal que .
  • Se divide , então existe um inteiro tal que .
Multiplicando essas duas equações:
Isso mostra que é igual a vezes , ou seja, divide .

Resposta

As duas propriedades são verdadeiras:
  • (a) Se divide e , então divide .
  • (b) Se divide e divide , então divide .

Exercícios relacionados

Verifique que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma ou .
Na divisão de 477 um inteiro positivo o resto é 12. Determine os possíveis valores para o divisor e o quociente .
Sejam . Mostre que
(a) Se e , então .
(b) Se e então
© Se a então .
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é, e não implica que . (Encontre um exemplo),
(e) Se são tais que e , então .
(f) então para todo natural .
Quais são os possíveis restos deixados por um quadrado perfeito na divisão por 4?