Quais são os possíveis valores de c para que os pontos e sejam colineares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir quais valores de fazem com que os pontos , e estejam todos em uma mesma linha reta. Para isso, vamos usar o conceito de colinearidade, que basicamente verifica se três pontos estão alinhados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa três pontos serem colineares. Três pontos estão em linha reta se a inclinação (ou coeficiente angular) entre qualquer dois pares de pontos for a mesma. A fórmula para calcular a inclinação entre dois pontos e é:

Passo 3

Vamos calcular a inclinação entre o primeiro ponto e o segundo ponto :
Agora, vamos calcular a inclinação entre o primeiro ponto e o terceiro ponto :

Passo 4

Para que os pontos sejam colineares, as inclinações e devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:
Vamos resolver essa equação:
Multiplicando em cruz:
Expandindo o lado esquerdo:
Juntando os termos:
Levando tudo para um lado da equação:
Simplificando:
Multiplicando a equação por -1 para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar essa equação:
Então, as soluções são:
Ou seja,

Resposta

Os possíveis valores de são 5 e 6.

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Sejam e . Determine as equações das retas que contêm os pontos e C .
Determine para que os pontos e sejam vértices de um triângulo.
Os vértices de um triângulo são e . Determine os pontos médios e P , respectivamente, de e CA , e os baricentros G 1 e , respectivamente do e do .
Demonstre que o triângulo de vértices e é isósceles.