Os vértices de um triângulo são e . Determine os pontos médios e P , respectivamente, de e CA , e os baricentros G 1 e , respectivamente do e do .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas A(1, -3), B(3, -5) e C(-5, 7). O que precisamos fazer é encontrar os pontos médios das arestas AB, BC e CA, que são chamados de M, N e P, respectivamente. Depois, vamos achar os baricentros (ou centróides) dos triângulos ABC e MNP, que chamaremos de G₁ e G₂. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula do ponto médio e a fórmula do baricentro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio M da aresta AB. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos, digamos e , é:
Aplicando isso aos pontos A(1, -3) e B(3, -5):
Então, o ponto médio M de AB é (2, -4).

Passo 3

Agora, vamos achar o ponto médio N da aresta BC. Usando a mesma fórmula do ponto médio:
Pontos B(3, -5) e C(-5, 7):
Logo, o ponto médio N de BC é (-1, 1).

Passo 4

Vamos encontrar o ponto médio P da aresta CA. Novamente, aplicando a fórmula do ponto médio:
Pontos C(-5, 7) e A(1, -3):
Portanto, o ponto médio P de CA é (-2, 2).

Passo 5

Agora que temos os pontos médios M(2, -4), N(-1, 1) e P(-2, 2), vamos encontrar o baricentro G₁ do triângulo ABC. O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram e pode ser encontrado pela média das coordenadas dos vértices.
A fórmula do baricentro G(x, y) é:
Substituindo os valores de A(1, -3), B(3, -5) e C(-5, 7):
Então, o baricentro G₁ de ABC é .

Passo 6

Por último, vamos encontrar o baricentro G₂ do triângulo MNP. Usamos a mesma fórmula do baricentro, agora com os pontos M(2, -4), N(-1, 1) e P(-2, 2):
Interessante notar que G₂ é igual a G₁!

Resposta

Os pontos médios são:
Os baricentros são:
  • do triângulo ABC
  • do triângulo MNP

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