Verificar se as aplicações são transformações lineares:
c) definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma certa aplicação , definida por , é uma transformação linear. A gente vai usar os conceitos de transformações lineares e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores e todo escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Então, para checar se é linear, vamos testar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma deles é .
Aplicando nessa soma:
Simplificando:
Agora, aplicamos separadamente em e :
Somando e :
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e :
Aplicando a :
Então, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que �� uma transformação linear.

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Verificar se as aplicações são transformações lineares:
a) definida por
Se são tais que e , então pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)

(N)
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
f) definida por
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
b)