Verificar se as aplicações são transformações lineares:
c) T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(2 x-y, y-3 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma certa aplicação , definida por , é uma transformação linear. A gente vai usar os conceitos de transformações lineares e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores e todo escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Então, para checar se é linear, vamos testar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Se pegarmos dois vetores quaisquer T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2), (y1 + y2) - 3(z1 + z2)) e = (2x1 + 2x2 - y1 - y2, y1 + y2 - 3z1 - 3z2) em T(u) = (2x1 - y1, y1 - 3z1) , a soma deles é T(v) = (2x2 - y2, y2 - 3z2) .
Aplicando T(u) + T(v) = (2x1 - y1 + 2x2 - y2, y1 - 3z1 + y2 - 3z2) nessa soma:
= (2x1 + 2x2 - y1 - y2, y1 + y2 - 3z1 - 3z2)
Simplificando:
Agora, aplicamos separadamente em e :
Somando e :
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (2(cx) - cy, cy - 3(cz)) um escalar e = (c(2x) - c(y), c(y) - c(3z)) :
Aplicando = c(2x - y, y - 3z) a = cT(u) :
Então, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que �� uma transformação linear.

Exercícios relacionados