Verificar se as aplicações são transformações lineares:
c)
definida por
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma certa aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. A gente vai usar os conceitos de transformações lineares e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Então, para checar se
é linear, vamos testar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando a aditividade. Se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma deles é
.
Aplicando
nessa soma:
Simplificando:
Agora, aplicamos
separadamente em
e
:
Somando
e
:
Comparando com
, vemos que são iguais. Então, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
:
Aplicando
a
:
Então, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
�� uma transformação linear.