Verificar se as aplicações são transformações lineares:
a) definida por

Passo 1

Então, pessoal, o que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear onde precisamos descobrir se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer dois vetores e e para qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Além disso, uma condição essencial é que , onde é o vetor nulo.

Passo 3

Vamos começar verificando se . O vetor nulo em é . Aplicando a função :
Isso confirma que . Ótimo, primeira condição atendida!

Passo 4

Agora, vamos verificar a adição vetorial. Seja e . Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a condição de adição vetorial também está satisfeita.

Passo 5

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja um escalar e . Calculamos :
Agora, calculamos :
Novamente, observamos que:
Portanto, a condição de multiplicação por escalar está atendida.

Resposta

Como a função satisfaz todas as condições de uma transformação linear – preserva a adição vetorial, a multiplicação por escalar e mapeia o vetor nulo no vetor nulo – podemos concluir que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Se são tais que e , então pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)

(N)
Sejam e transformações lineares definidas por:
Determine: a) Go F
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
c) definida por
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
f) definida por