Verificar se as aplicações são transformações lineares:
a) F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z)=(2 x, y+z)

Passo 1

Então, pessoal, o que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear onde precisamos descobrir se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer dois vetores e e para qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Além disso, uma condição essencial é que , onde é o vetor nulo.

Passo 3

Vamos começar verificando se F(0, 0, 0) = (2 times 0, 0 + 0) = (0, 0) . O vetor nulo em é . Aplicando a função :
Isso confirma que . Ótimo, primeira condição atendida!

Passo 4

Agora, vamos verificar a adição vetorial. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e F(u + v) = (2(x1 + x2), (y1 + y2) + (z1 + z2)) = (2x1 + 2x2, y1 + y2 + z1 + z2) . Primeiro, calculamos F(u) = (2x1, y1 + z1) :
F(v) = (2x2, y2 + z2)
F(u) + F(v) = (2x1 + 2x2, y1 + z1 + y2 + z2)
Agora, calculamos F(u + v) = F(u) + F(v) :
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a condição de adição vetorial também está satisfeita.

Passo 5

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja cu = (c x, c y, c z) um escalar e F(cu) = (2(c x), c y + c z) = (2c x, c(y + z)) . Calculamos F(u) = (2x, y + z) :
c,F(u) = (c times 2x, c times (y + z)) = (2c x, c(y + z))
F(cu) = c,F(u)
Agora, calculamos :
Novamente, observamos que:
Portanto, a condição de multiplicação por escalar está atendida.

Resposta

Como a função satisfaz todas as condições de uma transformação linear – preserva a adição vetorial, a multiplicação por escalar e mapeia o vetor nulo no vetor nulo – podemos concluir que é uma transformação linear.

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