Verificar se as aplicações são transformações lineares:
a)
definida por
a)
Passo 1
Então, pessoal, o que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear onde precisamos descobrir se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é
definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer dois vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes condições forem verdadeiras:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Além disso, uma condição essencial é que
, onde
é o vetor nulo.
Passo 3
Vamos começar verificando se
. O vetor nulo em
é
. Aplicando a função
:
Isso confirma que
. Ótimo, primeira condição atendida!
Passo 4
Agora, vamos verificar a adição vetorial. Seja
e
. Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a condição de adição vetorial também está satisfeita.
Passo 5
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Novamente, observamos que:
Portanto, a condição de multiplicação por escalar está atendida.
Resposta
Como a função
satisfaz todas as condições de uma transformação linear – preserva a adição vetorial, a multiplicação por escalar e mapeia o vetor nulo no vetor nulo – podemos concluir que
é uma transformação linear.