Um satélite com 1.500 kg de massa está em uma órbita elíptica com um período de
em torno de um planeta com
. No ponto mais afastadlo, a uma distância de
do centro do planeta, a velocidade do satélite é
. (b) Qual a força gravitacional entre o planeta e o satélite no instante em que este passa pelo ponto mais afastado do planeta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um satélite de 1.500 kg que está orbitando um planeta com massa de
kg. Esse satélite está em uma órbita elíptica, o que significa que sua distância ao planeta varia. O período dessa órbita é de
segundos. No ponto mais afastado da órbita, a uma distância de
metros do centro do planeta, o satélite tem uma velocidade de 3,22 km/s. A gente precisa descobrir qual é a força gravitacional entre o planeta e o satélite nesse ponto mais afastado.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos dá a força gravitacional entre dois corpos. Além disso, vamos precisar converter algumas unidades para manter tudo consistente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da força gravitacional. A Lei da Gravitação Universal de Newton é dada por:
Onde:
-
é a força gravitacional; -
é a constante gravitacional ( ); -
é a massa do planeta; -
é a massa do satélite; -
é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos e verificar se estão na unidade correta:
- Massa do planeta,
kg; - Massa do satélite,
kg; - Distância no ponto mais afastado,
m.
A velocidade do satélite no ponto mais afastado foi informada, mas para calcular a força gravitacional diretamente, não precisamos dela. Ela seria útil se estivéssemos verificando se o satélite está realmente em órbita ou calculando outra variável.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da força gravitacional:
Substituindo:
Passo 5
Vamos calcular o denominador primeiro:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as massas no numerador:
Passo 7
Substituindo de volta na fórmula:
Vamos simplificar a fração:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
:
Resposta
A força gravitacional entre o planeta e o satélite no ponto mais afastado é de aproximadamente 3,46 × 10² N.