Um satélite com 1.500 kg de massa está em uma órbita elíptica com um período de 8,0 times 10^4 s em torno de um planeta com 7,00 times 10^24 kg. No ponto mais afastadlo, a uma distância de 4,5 times 10^7 m do centro do planeta, a velocidade do satélite é 3,22 km / s. (b) Qual a força gravitacional entre o planeta e o satélite no instante em que este passa pelo ponto mais afastado do planeta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um satélite de 1.500 kg que está orbitando um planeta com massa de 7,00 times 10^24 kg. Esse satélite está em uma órbita elíptica, o que significa que sua distância ao planeta varia. O período dessa órbita é de 8,0 times 10^4 segundos. No ponto mais afastado da órbita, a uma distância de 4,5 times 10^7 metros do centro do planeta, o satélite tem uma velocidade de 3,22 km/s. A gente precisa descobrir qual é a força gravitacional entre o planeta e o satélite nesse ponto mais afastado.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos dá a força gravitacional entre dois corpos. Além disso, vamos precisar converter algumas unidades para manter tudo consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da força gravitacional. A Lei da Gravitação Universal de Newton é dada por:
F = G M times mr^2
Onde:
  • F é a força gravitacional;
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11, N,(m/kg)^2);
  • M é a massa do planeta;
  • m é a massa do satélite;
  • r é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos e verificar se estão na unidade correta:
  • Massa do planeta, M = 7,00 times 10^24 kg;
  • Massa do satélite, m = 1.500 kg;
  • Distância no ponto mais afastado, r = 4,5 times 10^7 m.
A velocidade do satélite no ponto mais afastado foi informada, mas para calcular a força gravitacional diretamente, não precisamos dela. Ela seria útil se estivéssemos verificando se o satélite está realmente em órbita ou calculando outra variável.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da força gravitacional:
F = G M times mr^2
Substituindo:
F = 6,674 times 10^-11 7,00 times 10^24 times 1.500(4,5 times 10^7)^2

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
(4,5 times 10^7)^2 = (4,5)^2 times (10^7)^2 = 20,25 times 10^14 = 2,025 times 10^15, m^2

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as massas no numerador:
7,00 times 10^24 times 1.500 = 10,5 times 10^27, kg^2

Passo 7

Substituindo de volta na fórmula:
F = 6,674 times 10^-11 10,5 times 10^272,025 times 10^15
Vamos simplificar a fração:
10,5 times 10^272,025 times 10^15 = 10,52,025 times 10^27-15 = 5,185 times 10^12

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo G:
F = 6,674 times 10^-11 times 5,185 times 10^12 = 6,674 times 5,185 times 10^-11+12 = 34,58 times 10^1 = 345,8, N

Resposta

A força gravitacional entre o planeta e o satélite no ponto mais afastado é de aproximadamente 3,46 × 10² N.

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