O vetor posição de uma partícula é dado por
, no S.I. e é válido para
. A partícula tem 200 g de massa. Determine os seguintes vetores em
: (d) torque.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por $ r(t) = 2,0, t^{3} \hat{\mathrm{i}} + t^{2} \hat{\mathrm{j}} $, válido para $ t \geq 0 $. A massa da partícula é de 200 g. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor torque quando $ t = 1,0 $ s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente as fórmulas de força e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de $ r(t) $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Com a aceleração em mãos, podemos calcular a força que atua na partícula usando a segunda lei de Newton, $ F = m \cdot a $. Primeiro, vamos converter a massa para quilogramas: 200 g = 0,2 kg. Então:
Passo 5
Por último, para encontrar o torque, usamos a fórmula $ \tau = r \times F $, que é o produto vetorial entre o vetor posição e a força. Vamos calcular isso em $ t = 1,0 $ s. Primeiro, encontramos $ r(1,0) $ e $ F(1,0) $:
Agora, calculamos o produto vetorial:
Resposta
O torque em $ t = 1,0 $ s é $ \tau = -1,6, \hat{\mathrm{k}} , N·m $.