O vetor posição de uma partícula é dado por r(t)=2,0 t^3 i+t^2 j, no S.I. e é válido para t >= 0. A partícula tem 200 g de massa. Determine os seguintes vetores em t=1,0 s : (d) torque.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por $ r(t) = 2,0, t^{3} \hat{\mathrm{i}} + t^{2} \hat{\mathrm{j}} $, válido para $ t \geq 0 $. A massa da partícula é de 200 g. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor torque quando $ t = 1,0 $ s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente as fórmulas de força e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de $ r(t) $:
r(t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt = ddt(6,0, t^2) i + ddt(2, t) j = 12,0, t i + 2, j

Passo 4

Com a aceleração em mãos, podemos calcular a força que atua na partícula usando a segunda lei de Newton, $ F = m \cdot a $. Primeiro, vamos converter a massa para quilogramas: 200 g = 0,2 kg. Então:
F = m cdot a

Passo 5

Por último, para encontrar o torque, usamos a fórmula $ \tau = r \times F $, que é o produto vetorial entre o vetor posição e a força. Vamos calcular isso em $ t = 1,0 $ s. Primeiro, encontramos $ r(1,0) $ e $ F(1,0) $:
tau = r times F
t = 1,0
Agora, calculamos o produto vetorial:
r(1,0)
F(1,0)

Resposta

O torque em $ t = 1,0 $ s é $ \tau = -1,6, \hat{\mathrm{k}} , N·m $.

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