O vetor posição de uma partícula é dado por r(t)=2,0 t^3 i+t^2 j, no S.I. e é válido para t >= 0. A partícula tem 200 g de massa. Determine os seguintes vetores em t=1,0 s : © momento angular;

Passo 1

Beleza, galera! Temos uma partícula com uma posição dada pela fórmula $ \vec{r}(t) = 2,0 t^{3} \hat{\mathrm{i}} + t^{2} \hat{\mathrm{j}} $ e massa de 200 g. Nosso objetivo aqui é encontrar o momento angular dessa partícula no instante $ t = 1,0 $ segundo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática vetorial e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, calculamos $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} $.
Diferenciando cada componente:
  • A derivada de $ 2,0 t^{3} $ é $ 6,0 t^{2} $.
  • A derivada de $ t^{2} $ é $ 2 t $.
Então, a velocidade fica:
v(t) = dr(t)dt

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento linear $ \vec{p} $, que é o produto da massa pela velocidade:
p
Antes disso, precisamos converter a massa de gramas para quilogramas:
p(t) = m cdot v(t)
Então,
m = 200 , g = 0,200 , kg
p(t) = 0,200 cdot (6,0 t^2 i + 2 t j)

Passo 4

O momento angular $ \vec{L} $ é dado pelo produto vetorial da posição $ \vec{r} $ pelo momento linear $ \vec{p} $:
L
Vamos fazer o produto vetorial:
r
p
Calculando o cruzamento:
L(t) = r(t) times p(t)
Expandindo o determinante:
r(t) = 2,0 t^3 i + t^2 j
p(t) = 1,2 t^2 i + 0,4 t j
L(t) = i & j & k 2,0 t^3 & t^2 & 0 1,2 t^2 & 0,4 t & 0

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar o momento angular no instante $ t = 1,0 $ s:
t = 1,0
L(1,0) = -0,4 (1,0)^4 k ²

Resposta

O momento angular da partícula em $ t = 1,0 $ segundo é $ \vec{L} = -0,4 , \hat{\mathrm{k}} , kg·m²/s $.

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