O vetor posição de uma partícula é dado por
, no S.I. e é válido para
. A partícula tem 200 g de massa. Determine os seguintes vetores em
: © momento angular;
Passo 1
Beleza, galera! Temos uma partícula com uma posição dada pela fórmula $ \vec{r}(t) = 2,0 t^{3} \hat{\mathrm{i}} + t^{2} \hat{\mathrm{j}} $ e massa de 200 g. Nosso objetivo aqui é encontrar o momento angular dessa partícula no instante $ t = 1,0 $ segundo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática vetorial e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, calculamos $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} $.
Diferenciando cada componente:
- A derivada de $ 2,0 t^{3} $ é $ 6,0 t^{2} $.
- A derivada de $ t^{2} $ é $ 2 t $.
Então, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento linear $ \vec{p} $, que é o produto da massa pela velocidade:
Antes disso, precisamos converter a massa de gramas para quilogramas:
Então,
Passo 4
O momento angular $ \vec{L} $ é dado pelo produto vetorial da posição $ \vec{r} $ pelo momento linear $ \vec{p} $:
Vamos fazer o produto vetorial:
Calculando o cruzamento:
Expandindo o determinante:
Passo 5
Finalmente, vamos avaliar o momento angular no instante $ t = 1,0 $ s:
Resposta
O momento angular da partícula em $ t = 1,0 $ segundo é $ \vec{L} = -0,4 , \hat{\mathrm{k}} , kg·m²/s $.